Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，射線(xiàn)AM⊥AB，點(diǎn)P在AM上，連接OP交半圓O于點(diǎn)D，PC切半圓O于點(diǎn)C，連接BC，OC．

（1）求證：△OAP≌△OCP；

（2）若半圓O的半徑等于2，填空：

①當(dāng)AP= 　 　時(shí)，四邊形OAPC是正方形；

②當(dāng)AP=　 　時(shí)，四邊形BODC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①2；②2．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，可以得到OP⊥AC，然后利用“HL”證明：△OAP≌△OCP；

（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到AP的長(zhǎng)；

②先利用菱形的性質(zhì)得到△OBC為等邊三角形，則∠B=60°，所以∠AOP=60°，然后在Rt△OAP中利用正切的定義求AP即可．

試題解析：（1）∵PC切半圓O于點(diǎn)C，∴OC⊥PC，

∵AM⊥AB，∴∠OAP=90°，

在Rt△OAP和Rt△OCP中 ，∴Rt△OAP≌Rt△OCP；

（2）①∵Rt△OAP≌Rt△OCP，∴PA=PC，

而OA=OC，∴當(dāng)AO=AP時(shí)，四邊形OAPC為菱形，

而∠OAP=90°，∴四邊形OAPC是正方形，此時(shí)AP=OA=2；

②∵四邊形BODC是菱形，∴OB=OD=CD=BC，BC∥OD，∴△OBC為等邊三角形，

∴∠B=60°，∴∠AOP=60°，

在Rt△OAP中，∵tan∠AOP=，∴AP=2tan60°=2，

即AP=2時(shí)，四邊形BODC是菱形．

故答案為2，2．