Question

【題目】在平面直角坐標系中，點C沿著某條路徑運動，以點C為旋轉(zhuǎn)中心，將點A（0，4）逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點B（m，1），若﹣5≤m≤5，則點C運動的路徑長為__．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題解析：如圖1所示，在y軸上取點P（0，1），過P作直線l∥x軸，

∵B（m，1），

∴B在直線l上，

∵C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為90°，

∴BC=AC，∠ACB=90°，

∵∠APB=90°，

∴∠1=∠2，

作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，則Rt△BCN≌Rt△ACM，

∴CN=CM，

若連接CP，則點C在∠BPO的平分線上，

∴動點C在直線CP上運動；

如圖2所示，∵B（m，1）且-5≤m≤5，

∴分兩種情況討論C的路徑端點坐標，

①當m=-5時，B（-5，1），PB=5，

作CM⊥y軸于M，作CN⊥l于N，

同理可得△BCN≌△ACM，

∴CM=CN，BN=AM，

可設(shè)PN=PM=CN=CM=a，

∵P（0，1），A（0，4），

∴AP=3，AM=BN=3+a，

∴PB=a+3+a=5，

∴a=1，

∴C（-1，0）；

②當m=5時，B（5，1），如圖2中的B1，此時的動點C是圖2中的C1，

同理可得C1（4，5），

∴C的運動路徑長就是CC1的長，

由勾股定理可得，CC1=．