Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，邊長(zhǎng)為6，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AMN，其中D、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是M、N，直線BM與直線CN交于點(diǎn)F，若旋轉(zhuǎn)360°，則點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是（　�。�

A.B.8C.D.4

Answer 1

【答案】A

【解析】

設(shè)AB交CF于K．首先證明點(diǎn)F在弧上運(yùn)動(dòng)，∠GOK＝120°，當(dāng)旋轉(zhuǎn)360°，則點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是的兩倍，求出的長(zhǎng)度，即可求得答案．

如圖，設(shè)AB交CF于K．

∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

∴（三角形中位線定理），，，

∵△ABC是等邊三角形，

∴，

∴△ADE是等邊三角形，

由旋轉(zhuǎn)得：，

∴∠CAB＝∠MAN＝60°，AB＝AC，AM＝AN，

∴∠CAN＝∠BAM，

∴△CAN≌△BAM（SAS），

∴∠ACN＝∠ABM，

∵∠CKA＝∠BKF，

∴∠BFK＝∠CAK＝60°，

∵∠CFB＝∠CAB＝60°，

∴C，B，F，A四點(diǎn)共圓，設(shè)圓心為O，

則點(diǎn)F在弧上運(yùn)動(dòng)，∠GOK＝120°，

∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，

∵E是AC的中點(diǎn)，

∴，，

連接OA，則，

設(shè)圓的半徑為r，

則的長(zhǎng)為：，

當(dāng)旋轉(zhuǎn)360°，則點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是的兩倍，

∴點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長(zhǎng)＝2×＝π，

故選：A．