如圖①,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=4cm.動點P在線段BC上以1cm/s的速度從點B運動到點C.過點P作PE⊥BC與AB交于點E,以PE為對稱軸將PE右側的圖形翻折得到△B′PE,設點P的運動時間為x(s).
(1)求點B′落在邊AC上時x的值.
(2)當x>0時,設△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積為y(cm2),求y與x之間的函數(shù)關系式.
(3)如圖②,點P運動的同時另有一動點D在線段AC上以2cm/s的速度從點C運動到點A.Q為CD的中點,以DQ為斜邊在線段AC右側作等腰直角△DQM.
①求當(2)中△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是△DQM的面積4倍時x的取值范圍.
②當△DQM 的頂點落在△B′PE的邊上時,直接寫出所有符合條件的x值.
考點:相似形綜合題
專題:
分析:(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)得:BP=B'P=x,再根據(jù)點B′落在邊AC上,可得BP=
1
2
BC=
1
2
×4=2
,從而求得點B′落在邊AC上時x的值.
(2)分0<x≤2,2<x≤4兩種情況討論得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關系式.
(3)①分0<x≤2,2<x≤4,由△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是△DQM的面積4倍,得到關于x的方程,即可求解.
②分三種情況:△DQM 的頂點M落在△B′PE的邊B′E上;△DQM 的頂點Q落在△B′PE的邊B′E上;△DQM 的頂點D落在△B′PE的邊PE上;進行討論即可求解.
解答:解:(1)由翻折得:BP=B'P=x,
∵點B′落在邊AC上,
BP=
1
2
BC=
1
2
×4=2

∵BP=x,
∴x=2.
∴點B'落在邊AC上時x的值為2.                           

(2)y=
x2(0<x≤2)
-3x2+16x-16(2<x≤4)
.               

(3)①當0<x≤2時,△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是x2,△DQM的面積是=
1
2
(2x÷2)×(2x÷2÷2)=
1
4
x2,即△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是△DQM的面積4倍;
當2<x≤4時,△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是-3x2+16x-16,△DQM的面積是=
1
2
(2x÷2)×(2x÷2÷2)=
1
4
x2,-3x2+16x-16=4×
1
4
x2,即x2-4x+4=0,解得x=2(不符合題意舍去).
故△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是△DQM的面積4倍時x的取值范圍是2<x≤4.
②△DQM 的頂點M落在△B′PE的邊B′E上,
3
2
x=[x-(4-
1
2
x-x)]×2,解得x=
16
7

△DQM 的頂點Q落在△B′PE的邊B′E上,4+
1
2
x=2x,解得x=
8
3
;
△DQM 的頂點D落在△B′PE的邊PE上,x=4.
故符合條件的x值為:x=
16
7
;x=
8
3
;x=4.
點評:考查了相似形綜合題,涉及的知識點有:翻折的性質(zhì),三角形的面積,分類思想的運用,方程思想的運用,綜合性較強,有一定的難度.
練習冊系列答案
相關習題

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下列圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是( 。
A、角B、等邊三角形
C、平行四邊形D、矩形

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如圖,在平面直角坐標系中,點A是動點且縱坐標為6,點B是線段OA上一動點,過點B作直線MN∥x軸,設MN分別交射線OA與x軸所成的兩個角的平分線于點E、F.
(1)求證:EB=BF;
(2)當
OB
OA
為何值時,四邊形AEOF是矩形?證明你的結論;
(3)是否存在點A、B,使四邊形AEOF為正方形?若存在,求點A與B的坐標;若不存在,說明理由.

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如圖,已知直線AB、CD相交于點O,OE平分∠AOB,∠EOC=28°25′.
(1)求∠AOD的度數(shù);
(2)判斷∠AOD與∠COB的大小關系,并說理由.

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(1)-3+(-7)×
-2
7
-52÷10;
(2)2(a-2b)+3b-3(b-a).

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如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點,已知點A(-3,0),B(0,m,),C(1,0).
(1)求m值;
(2)設點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A、B重合).
①過點P作x軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點E,作PD⊥AB于點D.動點P在什么位置時,△PDE的周長最大,求出此時P點的坐標;
②連接AP,并以AP為邊作等腰直角△APQ,當頂點Q恰好落在拋物線的對稱軸上時,求出對應的點P坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=-1,且拋物線經(jīng)過B(1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點A.
(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式,并求出頂點坐標D.
(2)將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個新的圖象,請你結合這個新的圖象回答:當直線y=x+b(b<3)與此圖象有兩個公共點時,b的取值范圍.
(3)若P為對稱軸x=-1上的一個動點.
①是否存在這樣的點P,使得∠APC=90°?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
②設拋物線的對稱軸交x軸于點M,動點P從點M出發(fā),第1秒以每秒1個單位的速度向上運動,第2秒以每秒2個單位的速度向下運動,第3秒以每秒3個單位的速度向上運動,按此規(guī)律一直運動下去…設運動時間為t(秒),試求出:在點P的運動過程中,當△BCP的周長前3次取得最小值時,相應的t的值.

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如圖,在平行四邊形ABCD中,延長BA到點E,延長DC到點F,使AE=CF,連接EF,分別交AD、BC于點N、M,連接BN、DM.
(1)求證:△ANE≌△CMF;
(2)求證:四邊形BMDN是平行四邊形.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

一只小蟲從數(shù)軸上表示+5的A點開始移動,第一次先向右移動1個單位,再向左移動2個單位;第二次先向右移動3個單位,再向左移動4個單位;第三次先向右移動5個單位,再向左移動6個單位…第一次移動后小蟲在數(shù)軸上表示的數(shù)
 
;第五次移動后小蟲在數(shù)軸上表示的數(shù)
 
;第n次移動后小蟲在數(shù)軸上表示的數(shù)
 

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