Question

定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．
舉例：如圖1，若CA=CB，則點(diǎn)C為△ABC的準(zhǔn)外心．
（1）應(yīng)用：如圖（1），在等邊△ABC中，CD上任意一點(diǎn)都是△ABC的準(zhǔn)外心．
①填空：若AB=6，則AD=

 

；
②在CD上取一點(diǎn)P，且PD=

1

2

AB，請(qǐng)求出∠APB的度數(shù)．
（2）探究：如圖（2），在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：新定義

分析：（1）①根據(jù)三角形的準(zhǔn)外心的定義可知AD=DB=

1

2

AB=3；
②連接PA、PB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠PAD=∠PBD=45°，然后即可求出∠APB的度數(shù)；
（2）先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分①PB=PA，②PA=PC，③PC=PB三種情況，根據(jù)三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）①∵CD上任意一點(diǎn)都是△ABC的準(zhǔn)外心，
∴AD=DB=

1

2

AB=3．
故答案為3；
②如圖，在CD上取一點(diǎn)P，則PA=PB，
又∵AD=DB，PD=

1

2

AB，
∴PD=AD=BD，CD⊥AB，
∴∠PAD=∠PBD=45°，
∴∠APB=90°；

（2）∵BC=3，AB=5，
∴AC=

AB2-BC2

=4．
①若PB=PA，設(shè)PA=x，則x²=3²+（4-x）²，
∴x=

25

8

，即PA=

25

8

，
②若PA=PC，則PA=2，
③若PC=PB，由圖知，P在AB上，不可能在AC上．
故PA=2或

25

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，弄清楚準(zhǔn)外心的定義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，要注意分三種情況進(jìn)行討論．