Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF．連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF，設(shè)OD=t．
（1）tan∠FOB=

 

；
（2）已知二次函數(shù)圖象y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)O、C、F三點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出∠AOD=45°，然后判斷出△OCD是等腰直角三角形，然后得到正方形的邊長(zhǎng)等于t，再根據(jù)銳角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊列式計(jì)算即可得解；
（2）表示出C、F的坐標(biāo)，然后分別把點(diǎn)C、F的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得到關(guān)于b、t的方程，然后求出b、t的值，即可得解；
（3）先利用△ACF和△AOB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例用t表示出OB，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例分情況求出BE，然后根據(jù)OB的長(zhǎng)度列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（2，2），
∴∠AOD=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∵OD=t，
∴正方形CDEF的邊長(zhǎng)為t，
∴OE=OD+DE=t+t=2t，
在Rt△OEF中，tan∠FOB=

EF

OE

=

t

2t

=

1

2

；
故答案為：

1

2

．

（2）∵圖象過(guò)原點(diǎn)，
∴c=0，
∵圖象過(guò)C（t，t）點(diǎn)，
∴-t²+bt=t（0＜t＜2 ），
∴-t+b=1①，
同理圖象過(guò)F（2t，t）點(diǎn)，得-4t+2b=1②，
由①②可得t=

1

2

，b=

3

2

，
∴y=-x²+

3

2

x；

（3）∵四邊形CDEF是正方形，
∴CF∥OB，
∴△ACF∽△AOB，
∴

AC

OA

=

CF

OB

，
即

2 2 - 2 t

2 2

=

t

OB

，
解得OB=

2t

2-t

，
要使△BEF與△OFE相似，∵∠FEO=∠FEB=90°，
∴只要

EF

OE

=

EF

EB

或

EF

OE

=

EB

EF

，
即

t

EB

=

1

2

或

EB

t

=

1

2

，
解得，BE=2t或BE=

1

2

t，
①當(dāng)BE=2t時(shí)，BO=4t，
∴

2t

2-t

=4t，
解得t=0（舍去）或t=

3

2

；
②當(dāng)BE=

1

2

t時(shí)，
若B在E的左側(cè)，則OB=OE-EB=2t-

1

2

t=

3

2

t，
∴

2t

2-t

=

3

2

t，
解得t=0（舍去）或t=

2

3

；
若B在E的右側(cè)，則OB=OE+EB=2t+

1

2

t=

5

2

t，
∴

2t

2-t

=

5

2

t，
∴t=0（舍去）或t=

6

5

，
綜上所述，t值為

3

2

或

2

3

或

6

5

時(shí)，以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）的分情況討論，注意不要漏解．