Question

已知，如圖，在△ABC中，點E是內心，延長AE交三角形的外接圓于點D，連接BD、DC．求：DB=DC=DE．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：證明題

分析：點E為△ABC的內心，易證DB=DC，連接BE，證∠BED=∠DBE即可；∠DBE=∠4+∠5，∠BED=∠2+∠3；觀察上述兩個式子：E是△ABC的內心，則∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BED=∠DBE，由此得證．

解答：證明：連接BE．
∵E是△ABC的內心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4；
∴DB=DC．
∵∠BED=∠3+∠2，∠EBD=∠4+∠5，且∠5=∠1，
∴∠BED=∠EBD；
∴DE=BD；
∴BD=ED=CD．

點評：本題考查了三角形內心的性質、圓周角定理及等角對等邊，題目的綜合性較強，難度中等．