Question

等邊△ABC的邊長為1，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，沿EF將AEF翻折，使點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D，已知AE：AF=5：4，求BD長．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：首先根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)及相似三角形的判定定理來證明△BDE∽△CFD，進(jìn)而找出BD、CF之間的數(shù)量關(guān)系；利用余弦定理求出線段BD的長．

解答：解：如圖，由題意得：△AEF≌△DEF，
∴DE=AE，DF=AF；∠EDF=∠A；
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°；
∴∠EDF=∠B=∠C=60°；
∴∠BED+∠BDE=∠CDF+∠BDE=180°-60°=120°，
∴∠BED=∠CDF；
又∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴

BD

CF

=

DE

DF

；
又∵DE=AE，DF=AF，且AE：AF=5：4，
∴BD：CF=5：4；
設(shè)BD=5m，則CF=4m，
∴CD=1-5m，DF=AF=1-4m；
由勾股定理得：
DF²=CD²+CF²-2CD•CF•cos60°，
即(1-4m)2=(1-5m)2+(4m)2-2(1-5m)(4m)×

1

2

，
整理得：45m²-6m=0，
解得：m=

2

15

或m=0（舍去）；
∴BD的長為

2

3

．

點(diǎn)評：該命題以等邊三角形為載體，以翻折變換為手段，以考查相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．