【題目】數(shù)學活動課上,老師準備了若干個如圖1的三種紙片,A種紙片是邊長為a的正方形,B種紙片是邊長為b的正方形,C種紙片是寬為a,長為b的長方形。用A種紙片一張,B種紙片一張,C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形。
(1)請用兩種不同的方式表示圖2大正方形的面積。
方式1: ;
方式2: .
(2)觀察圖2,請你寫出下列三個代數(shù)式:,,之間的等量關(guān)系。
(3)類似地,請你用圖1中的三種紙片拼一個圖形驗證:
(4)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:
①已知:,,求的值;
②已知,求的值。
【答案】(1)a2+b2+2ab,(a+b)2;(2)(a+b)2=a2+b2+2ab;(3)圖形見解析;(4)①,②-2.
【解析】
(1)方法1:用1張A種紙片、1張B種紙片和兩個C種紙片的面積表示拼成的大正方形的面積,方法2:用拼成的大正方形邊長×邊長表示大正方形的面積;
(2)根據(jù)(1)中兩種方法都是求同一個大正方形的面積得出等量關(guān)系;
(3)用1張A種紙片、2張B種紙片、3張C種紙片拼成長方形進行驗證;
(4)①把a-b=5兩邊平方,利用完全平方公式,即可解答,
②設(shè)2018-a=x,a-2017=y,則x+y=1,利用完全平方公式,即可解答.
解:(1)方法1:a2+b2+2ab,
方法2:(a+b)2;
(2)∵第(1)小題中的兩種方法都是計算同一個大正方形的面積,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab;
(3)用1張A種紙片、2張B種紙片、3張C種紙片拼成長方形,如下圖所示:
長方形的寬為(a+b),長為(a+2b),則面積為(a+b)(a+2b),
1張A種紙片、2張B種紙片、3張C種紙片的面積和為:a2+3ab+2b2,
所以(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2;
(4)①∵a+b=5,
∴(a+b)2=25,
∴a2+2ab+b2=25,
∵a2+b2=12,
∴2ab=13,
∴ab=;
②設(shè)2018-a=x,a-2017=y,則x+y=1,
∵(2018-a)2+(a-2017)2=5,
∴x2+y2=5,
∵(x+y)2=x2+2xy+y2,
∴xy==-2,
即(2018-a)(a-2017)=-2.
故答案為:(1)a2+b2+2ab,(a+b)2;(2)(a+b)2=a2+b2+2ab;(3)圖形見解析;(4)①,②-2.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E,若BF=12,AB=10,則AE的長為( )
A.16 B.15 C.14 D.13
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【題目】如圖,ABCD中,M、N是BD的三等分點,連接CM并延長交AB于點E,連接EN并延長交CD于點F,以下結(jié)論:
①E為AB的中點;
②FC=4DF;
③S△ECF= ;
④當CE⊥BD時,△DFN是等腰三角形.
其中一定正確的是 .
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【題目】我們知道,同底數(shù)冪的乘法法則為:am·an=am+n(其中a≠0,m,n為正整數(shù)),類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m,n的一種新運算:h(m+n)=h(m)·h(n),請根據(jù)這種新運算填空:
(1)若h(1)=,則h(2)=________;
(2)若h(1)=k(k≠0),則h(n)·h(2017)=________(用含n和k的代數(shù)式表示,其中n為正整數(shù)).
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【題目】我們給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱這個四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊。
(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱;
(2)如圖,將繞頂點B順時針方向旋轉(zhuǎn),得到,連接AD、DC,,求證:,即四邊形ABCD是勾股四邊形。
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【題目】(1)如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系并證明. (提示:延長CD到G,使得DG=BE)
(2)如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;
(3)如圖3,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西20°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東60°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F處,且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時兩艦艇之間的距離.(可利用(2)的結(jié)論)
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【題目】已知△A1B1C1是由△ABC經(jīng)過平移得到的,其中,A、B、C三點的對應(yīng)點分別是A1、B1、C1,它們在平面直角坐標系中的坐標如下表所示:
△ABC | A(a,0) | B(3,0) | C(5,5) |
△A1B1C1 | A1(﹣3,2) | B1(﹣1,b) | C1(c,7) |
(1)觀察表中各對應(yīng)點坐標的變化,并填空:a= ,b= ,c= ;
(2)在如圖的平面直角坐標系中畫出△ABC及△A1B1C1;
(3)△A1B1C1的面積是 .
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【題目】已知A=2x2+3xy﹣2x﹣1,B=﹣x2+xy﹣1:
(1)求3A+6B;
(2)若3A+6B的值與x無關(guān),求y的值.
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【題目】如圖,點D,E分別在線段AB, AC上,CD與BE相交于O點,已知AD=AE,現(xiàn)添加以下哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A. BD= CEB. ∠B=∠CC. BE=CDD. AB=AC
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