Question

【題目】(1)如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，FD之間的數(shù)量關(guān)系并證明． (提示：延長(zhǎng)CD到G，使得DG＝BE)

(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西20°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東60°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．(可利用(2)的結(jié)論)

Answer 1

【答案】(1)EF＝BE+DF；(2)EF＝BE+DF仍然成立；(3)此時(shí)兩艦艇之間的距離是140海里．

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答；

（2）延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠B＝∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再求出∠EAF＝∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF＝GF，然后求解即可；

（3）連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，然后求出∠EAF＝∠AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可．

解：(1)EF＝BE+DF；

證明：如圖1，延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

(2)EF＝BE+DF仍然成立．

證明：如圖2，延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，

∴∠B＝∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

(3)如圖3，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，

∵∠AOB＝20°+90°+(90°﹣60°)＝140°，

∠EOF＝70°，

∴∠EOF＝∠AOB，

又∵OA＝OB，

∠OAC+∠OBC＝(90°﹣20°)+(60°+50°)＝180°，

∴符合探索延伸中的條件，

∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，

即EF＝1×(60+80)＝140(海里)．

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是140海里．