Question

如圖，在直角坐標系中，以點A（

3

，0）為圓心，以2

3

為半徑圓與x軸相交于點B，C，與y軸相交于點D，E．
（1）若拋物線y=

1

3

x²+bx+c經(jīng)過點C，D兩點，求拋物線的解析式，并判斷點B是否在該拋物線上．
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上有一點P，使得△PBD的周長最小，求點P的坐標．
（3）設Q為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點M，使得以點B、C、Q、M為頂點的四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意A（

3

，0），得出B（-

3

，0）連接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D兩點坐標代入拋物線y=

1

3

x²+bx+c，可求拋物線解析式；
（2）由（1）知，點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點C，連接CD，交拋物線對稱軸于P點，P點即為所求，先求直線CD的解析式，已知P點橫坐標x=

3

，代入直線CD的解析式即可求P；
（3）利用BC=4

3

，Q點橫坐標是

3

，當M在Q點左邊，則M點橫坐標為

3

-4

3

=-3

3

，代入拋物線解析式可求M點坐標，進而利用當M在Q點右邊求出M點坐標，．

解答：解：（1）如圖：

∵OA=

3

，AB=AC=2

3

，
∴B（-

3

，0），C（3

3

，0），
在Rt△AOD中，AD=2

3

，OA=

3

，
∴OD=

AD2-OA2

=3，
∴D的坐標為：（0，-3），
又D，C兩點在拋物線上，
則

c=-3 1 3 (3 3 )2+3 3 b+c=0

，
解得：

b=- 2 3 3 c=-3

，
則拋物線的解析式為：y=

1

3

x2-

2 3

3

x-3，
當x=-

3

時，y=0，
故點B（-

3

，0）在拋物線上；

（2）如圖：

∵y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3=

1

3

(x-

3

)2-4，
∴拋物線y=

1

3

x2-

2 3

3

x-3的對稱軸方程為：x=

3

，
在拋物線的對稱軸上存在點P，使△PBD的周長最�。�
∵BD的長為定值，
∴要使△PBD周長最小只需PB+PD最�。�
連結DC，則DC與對稱軸的交點即為使△PBD周長最小的點．
設直線DC的解析式為y=mx+n．
由

n=-3 3 3 m+n=0

，
解得：

m= 3 3 n=-3

，
∴直線DC的解析式為：y=

3

3

x-3，
由

y= 3 3 x-3 x= 3

，
解得：

x= 3 y=-2

，
故點P的坐標為：（

3

，-2）；

（3）存在，
如圖：

設Q（

3

，t）為拋物線對稱軸x=

3

上一點，M在拋物線上要使四邊形BCQM為平行四邊形，
則BC∥QM且BC=QM，點M在對稱軸的左側．
于是，過點Q作直線L∥BC與拋物線交于點M（x_m，t），
由BC=QM得QM=4

3

從而xm=-3

3

，
故t=

1

3

x²-

2 3

3

x-3
解得：t=12，
故在拋物線上存在點M（-3

3

，12），使得四邊形BCQM為平行四邊形；
故當M在Q點右邊MQ=4

3

，則M點橫坐標為：5

3

，可得縱坐標為：12，
另外：M在拋物線的頂點上也可以構造平行四邊形，此時頂點坐標為：（

3

，-4），
故在拋物線上存在點M（-3

3

，12）或（5

3

，12）或（

3

，-4），使得四邊形BCQM為平行四邊形．

點評：本題考查了點的坐標及二次函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)綜合應用，要求會在坐標系中求線段和最小的問題以及探求平行四邊形的條件．