Question

如圖，在⊙O中，已知弦AB、CD互相垂直，連接AD、BC，作AD的弦心距OE，求證：CB=2EO．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關系,三角形中位線定理,圓周角定理

專題：證明題

分析：連接AO并延長交圓于F，連接DF，CF，BF．先由垂徑定理得出E是AD的中點，那么OE是△ADF的中位線，根據三角形中位線定理得到DF=2OE，再由圓周角定理證明BF⊥AB，根據垂直于同一直線的兩直線平行得出BF∥CD，由圓心角、弧、弦的關系得到BC=DF，等量代換得出BC=2OE．

解答：證明：連接AO并延長交圓于F，連接DF，CF，BF．  
∵OE是AD的弦心距，
∴E是AD的中點，
又0是圓心，
∴O是直徑AF的中點，
∴OE是△ADF的中位線，
∴DF=2OE．
∵AF是直徑，
∴△ABF是直角三角形，且BF⊥AB，
又∵AB⊥CD，
∴BF∥CD，
∴∠FCD=∠BFC，
∴弧DF=弧BC（同圓內相等圓周角所對的圓弧相等），
∴BC=DF（同圓內等弧對等弦），
即BC=2OE．

點評：本題考查了垂徑定理，三角形中位線定理，圓周角定理，平行線的判定，圓心角、弧、弦的關系，難度中等．準確作出輔助線得到DF=2OE是解題的關鍵．