Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為（　�。�

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

延長(zhǎng)F至G，使CG＝AE，連接DG，由SAS證明△ADE≌△CDG，得出DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，再證明△EDF≌△GDF，得出EF＝GF，設(shè)AE＝CG＝x，則EF＝GF＝3+x，在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程得出AE＝2，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE即可．

解：延長(zhǎng)F至G，使CG＝AE，連接DG、EF，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB＝BC＝CD＝6，∠A＝∠B＝∠DCF＝∠ADC＝90°，

∴∠DCG＝90°，

在△ADE和△CDG中，，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，

∴∠EDG＝∠CDE+∠CDG＝∠CDE+∠ADE＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠GDF＝45°，

在△EDF和△GDF中，，

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF＝GF，

∵F是BC的中點(diǎn)，

∴BF＝CF＝3，

設(shè)AE＝CG＝x，則EF＝GF＝3+x，

在Rt△BEF中，由勾股定理得：32+（6﹣x）2＝（3+x）2，

解得：x＝2，即AE＝2，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝；

故選：B．