【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F.
(1)求證:AE=EF.
(2)(探究1)變特殊為一般:若題中“點E是邊BC的中點”變?yōu)椤包cE是BC邊上任意一點”,則上述結(jié)論是否仍然成立?(填“是”或“否”).
(3)(探究2)在探究1的前提下,若題中結(jié)論“AE=EF”與條件“CF是正方形外角的平分線”互換,則命題是否還成立?請給出證明.
【答案】(1)見解析;(2)是;(3)仍然成立,見解析
【解析】
(1)取AB中點M,連接EM,求出BM=BE,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根據(jù)ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(2)截取BE=BM,連接EM,求出AM=EC,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根據(jù)ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(3)過點F作FH⊥BC,交BC的延長線于點H,得到∠BAE=∠HEF,再證明△ABE≌△EHF可得出BE=CH,FH=CH,從而得到∠HFC=∠DCF=45°,即可得出結(jié)論.
解:(1)證明:取AB的中點M,連接ME,如圖1,
∴AM=BM=AB.
∵E是BC的中點,
∴BE=EC=BC.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠B=∠BCD=90°,AB=BC.
∴AM=EC,BM=BE.
∴∠BME=45°.
∴∠AME=135°.
又∵CF是正方形外角的平分線,
∴∠ECF=135°.
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEC=90°.
又∵∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠FEC.
∴△AME≌△ECF(ASA).
∴AE=EF.
(2)【探究1】變特殊為一般:若題中“點E是邊BC的中點”變?yōu)?/span>“點E是BC邊上任意一點”,則上述結(jié)論仍然成立.
理由是:如圖2,在AB上截取BM=BE,連接ME,
∵∠B=90°,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
∵AB=BC,BM=BE,
∴AM=EC,
在△AME和△ECF中
,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(3)【探究2】在探究1的前提下,若題中結(jié)論“AE=EF”與條件“CF是正方形外角的平分線”互換,則命題仍然成立.
證明:過點F作FH⊥BC,交BC的延長線于點H,如圖3,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEH=90°.
∵∠ABE=90°,
∴∠AEB+∠BAE=90°.
∴∠BAE=∠HEF.
在△ABE和△EHF中,
∴△ABE≌△EHF(AAS).
∴BE=HF,AB=EH=BC.
∴BC-EC=EH-EC,即BE=CH.
∴HF=CH.
∴∠HCF=∠HFC=45°,∠DCF=45°.
∴CF是正方形外角的平分線.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】校學(xué)生會對七年級部分學(xué)生的課外閱讀量進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查,整理調(diào)查結(jié)果,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的圖表,如圖所示:
本數(shù)(本) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
5 | a | 0.3 |
6 | 10 | 0.2 |
7 | 20 | b |
8 | 5 | 0.1 |
合計 | c | 1 |
(1)統(tǒng)計表中的b= ,c= ;請將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整.
(2)所有被調(diào)查學(xué)生課外閱讀的平均本數(shù)為 本,課外閱讀書本數(shù)的中位數(shù)為 本.
(3)若該校七年級共有1200名學(xué)生,估計該校七年級學(xué)生課外閱讀6本及以下的人數(shù)為 人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā),勻速行駛,設(shè)慢車行駛的時間x(h),兩車之間的距離為y(km),圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖象回答:
(1)甲、乙兩地之間的距離為 ;
(2)兩車同時出發(fā)后 h相遇;
(3)慢車的速度為 千米/小時;快車的速度為 千米/小時;
(4)線段CD表示的實際意義是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,請在下列四個關(guān)系中,選出兩個恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件,推出四邊形ABCD是平行四邊形,并予以證明.關(guān)系:①AD∥BC;②AB=CD;③∠A=∠C;④∠B+∠C=180°.
(1)寫出所有成立的情況(只需填寫序號);
(2)選擇其中一種證明.
已知:在四邊形ABCD中, ;
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C,其頂點為點D,點E的坐標(biāo)為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點F,連接BC.
(1)求該拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)若點H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;
(3)一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,連接OM,BM,設(shè)運動時間為t秒(t>0),在點M的運動過程中,當(dāng)t為何值時,∠OMB=90°?
(4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)四邊形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,DA⊥AB,點E在CD的延長線上,∠BAC=∠DAE.
(1)求證:△ABC≌△ADE;
(2)求證:CA平分∠BCD;
(3)如圖(2),設(shè)AF是△ABC的BC邊上的高,求證:EC=2AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠B=60°,D、E分別為AB、BC上的點,且AE、CD交于點F.
(1)如圖1,若AE、CD為△ABC的角平分線:
①求∠AFD的度數(shù);
②若AD=3,CE=2,求AC的長;
(2)如圖2,若∠EAC=∠DCA=30°,求證:AD=CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《如果想毀掉一個孩子,就給他一部手機(jī)!》這是微信朋友圈熱傳的一篇文章.國際上,法國教育部宣布從2018年9月新學(xué)期起,小學(xué)和初中禁止學(xué)生使用手機(jī).為了解學(xué)生手機(jī)使用情況,某學(xué)校開展了“手機(jī)伴我健康行”主題活動,他們隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行“使用手機(jī)目的”和“每周使用手機(jī)的時間”的問卷調(diào)查,并繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖,已知“查資料”的人數(shù)是人.
請你根據(jù)以上信息解答下列問題:
求出本次隨機(jī)抽取的學(xué)生共有多少人;
在扇形統(tǒng)計圖中,“玩游戲”對應(yīng)的百分比為______________,圓心角度數(shù)是_______________度;
補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
該校共有學(xué)生人,估計每周使用手機(jī)時間在小時以上(不含小時)的人數(shù).
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