Question

已知拋物線(xiàn)C₁：y=-x²+2mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，n＞0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線(xiàn)C₂與拋物線(xiàn)C₁關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其頂點(diǎn)為B，連接AC，BC，AB．
注：拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．
（1）請(qǐng)?jiān)跈M線(xiàn)上直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)C₂的解析式：

 

；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，判定△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）拋物線(xiàn)C₁上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求得；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：AC=BC等腰三角形，借助于輔助線(xiàn)，又可求得∠ACy=45°，可得△ABC為等腰直角三角形；
（3）首先假設(shè)成立，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解，求得m=±

3

，所以存在．

解答：解：（1）y=-x²-2mx+n．（2分）

（2）當(dāng)m=1時(shí)，△ABC為等腰直角三角形．（3分）
理由如下：如圖：
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)C又在y軸上，
∴AC=BC．（4分）
過(guò)點(diǎn)A作拋物線(xiàn)C₁的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E．
∴當(dāng)m=1時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，1+n），
∴CE=1．
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，n），
∴AE=1+n-n=1．
∴AE=CE．
從而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45度．
由對(duì)稱(chēng)性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90度．
∴△ABC為等腰直角三角形．（7分）

（3）假設(shè)拋物線(xiàn)C₁上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，則PC=AB=BC．
由（2）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC．
從而△ABC為等邊三角形．（8分）
∴∠ACy=∠BCy=30度．
∵四邊形ABCP為菱形，且點(diǎn)P在C₁上，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)．
∴PC與AD的交點(diǎn)也為點(diǎn)E，
因此∠ACE=90°-30°=60度．
∵點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（m，m²+n），C（0，n），
∴AE=m²+n-n=m²，CE=|m|．
在Rt△ACE中，tan60°=

AE

CE

=

m2

|m|

=

3

．
∴|m|=

3

，∴m=±

3

．
故拋物線(xiàn)C₁上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，
此時(shí)m=±

3

．（12分）
說(shuō)明：只求出m的一個(gè)值扣（2分）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與四邊形以及軸對(duì)稱(chēng)圖形的綜合知識(shí)，解題時(shí)要注意輔助線(xiàn)選擇與應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．