Question

如圖，P為正方形ABCD的對(duì)稱中心，A（0，3），B（1，0），直線OP交AB于N，DC于M，點(diǎn)H從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以

2

個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．求：
（1）C的坐標(biāo)為

 

；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ANO與△DMR相似？
（3）△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)S的值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作CE⊥x軸于E，易證得△ABO≌△BCE，可得AO=BE、OB=CE，由此求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）RH∥y軸，即R、H的橫坐標(biāo)相同；
由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO與△DMR相似，則：
由于直線OP經(jīng)過(guò)正方形的對(duì)稱中線，因此OP平分∠AOB，即∠AOP=45°，由于AB∥CD，故∠ANO=∠DMO，若△ANO與△DMR相似，則有兩種情況：
①∠DRM=45°，此時(shí)DR∥y軸，即點(diǎn)R、D、H的橫坐標(biāo)都相同，由此求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；
②∠RDM=45°，此時(shí)R、P重合，因此R、H的橫坐標(biāo)相同，由此求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．
（3）①首先用t表示出PH的長(zhǎng)，由于PH與y軸平行，可以PH為底、H、C的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高求出S的表達(dá)式，即可得S、t的函數(shù)關(guān)系式；要注意的是在表示高的過(guò)程中，要分H在C點(diǎn)左側(cè)和H點(diǎn)在C點(diǎn)右側(cè)兩種情況討論．
②此題應(yīng)分三種情況討論：
一、CR∥AB，此時(shí)R、M重合，可求出直線CD的解析式，聯(lián)立直線OP的解析式，即可求得M點(diǎn)（即R）的坐標(biāo)，進(jìn)而得到H點(diǎn)坐標(biāo)和t的值，然后再將t代入①的函數(shù)解析式中即可得到S的值；
二、AR∥BC，三、BR∥AC，解法同上．

解答：解：（1）過(guò)C作CE⊥x軸于E；
由于四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°；
易證得△ABO≌△BCE，
則AO=BE=3，OB=CE=1，
∴C（4，1）；（2分）
同理可求，D（3，4）．

（2）由于P是正方形的對(duì)稱中心，由A（0，3），C（4，1），
可得P（2，2）；
則∠MOE=45°，又OR=

2

t，OH=t，所以RH∥y軸，即R、H的橫坐標(biāo)相同；
由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO與△DMR相似，則：
①當(dāng)∠MDR=45°時(shí)，R、P重合，此時(shí)R（2，2），故t=2，點(diǎn)H（2，0）；
②當(dāng)∠DRM=45°時(shí)，DR∥y軸，此時(shí)R（3，3），故t=3，點(diǎn)H（3，0）；
所以當(dāng)t=2或t=3時(shí)，△ANO與△DMR相似．

（3）①分兩種情況：
一、0＜t≤4，H在E點(diǎn)左側(cè)；
易知RH=t，HE=4-t，故S=

1

2

RH•HE=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t；
二、t＞4，H在E點(diǎn)右側(cè)；
易知RH=t，HE=t-4，故S=

1

2

RH•HE=

1

2

t（t-4）=

1

2

t²-2t；
②若以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，分三種情況：
一、CR∥AB；此時(shí)R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直線CD：y=-3x+13；
當(dāng)x=y時(shí)，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即M（即R）點(diǎn)橫坐標(biāo)為

13

4

，H（

13

4

，0）；
故t=

13

4

，代入S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）可得S=

39

32

；
同理可求得：
二、AR∥BC時(shí)，t=

9

2

，S=

9

8

；
三、BR∥AC時(shí)，t=

1

3

，S=

11

18

；
綜合①②可得：
S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）；（1分）S=

1

2

t²-2t（t＞4）．
當(dāng)CR∥AB時(shí)，t=

13

4

，（1分）S=

39

32

；
當(dāng)AR∥BC時(shí)，t=

9

2

，S=

9

8

；
當(dāng)BR∥AC時(shí)，t=

1

3

，S=

11

18

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，梯形的判定，圖形面積的求法等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論思想在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，難度較大．