【題目】已知,點P是等邊三角形△ABC中一點,線段AP繞點A逆時針旋轉60°到AQ,連接PQ、QC.

(1)求證:PB=QC;

(2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°,求PC的長度.

【答案】(1)證明見解析;(2)5.

【解析】

(1)直接利用旋轉的性質可得AP=AQ,∠PAQ=60°,然后根據(jù)“SAS”證明BAP≌△CAQ,結合全等三角形的性質得出答案;

(2)APQ是等邊三角形可得AP=PQ=3,∠AQP=60°,由全等的性質可得∠AQC =∠APB=150°,從而可求PQC=90°,然后根據(jù)勾股定理求PC的長即可.

直接利用等邊三角形的性質結合勾股定理即可得出答案.

(1)證明:∵線段AP繞點A逆時針旋轉60°AQ,

AP=AQ,PAQ=60°,

∴△APQ是等邊三角形,∠PAC+CAQ=60°,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠BAP+PAC=60°,AB=AC,

∴∠BAP=CAQ,

BAPCAQ

,

∴△BAP≌△CAQ(SAS),

PB=QC;

(2)解:∵由(1)得APQ是等邊三角形,

AP=PQ=3,AQP=60°,

∵∠APB=150°,

∴∠PQC=150°﹣60°=90°,

PB=QC,

QC=4,

∴△PQC是直角三角形,

PC===5.

練習冊系列答案
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