Question

【題目】閱讀理解：如圖，在四邊形的邊上任取一點（點不與、重合），分別連接、，可以把四邊形分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把叫做四邊形的邊上的“相似點”：如果這三個三角形都相似，我們就把叫做四邊形的邊上的“強相似點”．解決問題：

如圖，，試判斷點是否是四邊形的邊上的相似點，并說明理由；

如圖，在矩形中，、、、四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形的邊上的強相似點；

如圖，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，若點恰好是四邊形的邊上的一個強相似點，試探究與的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】點是四邊形的邊上的相似點；; 見解析； ．

【解析】

（1）根據(jù)∠ADF=∠BEC和∠A=∠B，求出△ADE∽△BEC，得出點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點；

（2）因為△ADE是直角三角形，所以△ECD是直角三角形，所以點E為以CD為直徑的圓與邊AB的交點；

（3）因為點E是四邊形ABCD的邊AB上的強相似點，得出三個三角形相似，根據(jù)相似三角線對應線段成比例，判斷BE和AB的關系，通過相似三角形和全等三角形得出∠BCE= ∠BCD=30°，利用特殊角的三角函數(shù)得到BE和BC的關系，從而得到AB與BC的關系．

∵

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∴點是四邊形的邊上的相似點；

;

如圖中所示的點和點為上的強相似點；;

∵點是四邊形的邊上的一個強相似點，

∴，

∴，

由折疊可知：，

∴，，

∴，，

在中，，

∴，

∴．