Question

【題目】定義：兩直角邊比為1：2的直角三角形叫做和合三角形．

（1）如圖1，△ABC中，∠C= ，AC=3，BC=4，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，說明△ACD是和合三角形；

（2）如圖2，和合△ABC中，∠C= ，AC= ，點(diǎn)D是邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，在直線DE下方構(gòu)造矩形DEFG，使直線FG始終經(jīng)過BC中點(diǎn)M，已知△ABC面積為4，求矩形DEFG的面積；

（3）如圖3，扇形OAB中，∠AOB= ，OA=2．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA，OB所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是 一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=3上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OPQ是和合三角形時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）P ，

【解析】

（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB，易證Rt△ACD≌Rt△AED，所以AE=AC=3，所以BE=2，設(shè)CD=x，則DE=x，DB=4-x，在Rt△BDE中，，列出方程式可求得，則CD∶AC=1∶2，即證△ACD是和合三角形；

（2）易證DM∥AC，且DM= AC，由三角形面積關(guān)系可得S△DME= S△ABC，因?yàn)?/span>S△DME= DEEF= S矩形DEFG，即可求得S矩形DEFG= S△ABC=2；

（3）分三種情況討論即可，分別討論△OPQ中三個(gè)內(nèi)角為90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

（1）解：過點(diǎn)D作DE⊥AB

∵AD平分∠CAB，∠C=

∴DE=CD

∵AD=AD

∴Rt△ACD≌Rt△AED

∴AE=AC=3

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，

∴AB=5

∴BE=2

設(shè)CD=x，則DE=x，DB=4-x

在Rt△BDE中，

即:

解得:

∴CD∶AC=1∶2

∴△ACD是和合三角形；

（2）解：∵點(diǎn)D是邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)M是邊BC中點(diǎn)

∴DM∥AC，且DM= AC

∴S△DME= ×DM×MC= = = S△ABC

∵S△DME= ×DE×EF= S矩形DEFG

∴S矩形DEFG= S△ABC=2；

（3）解：①∵

∴

②當(dāng) 時(shí)

過點(diǎn)P作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線y=3于點(diǎn)C

則

∴

∵

∴

∴

∴△OPD∽△PQC

∴ 或

設(shè)OD=a，則CP=2a或

∴PD=3-2a或3-

在Rt△OPD中，

若PD=3-2a

則

解得： （舍去），

若PD=3-

則

方程無解

∴點(diǎn)P

③當(dāng) 時(shí)

分別過點(diǎn)P,Q作PE⊥x軸于點(diǎn)E，QF⊥x軸于點(diǎn)F

同②理：△OPE∽△QOF

∴ 或

∵

∴OE=6(舍去)，或OE=

∴PE=

∴點(diǎn)P

綜上，點(diǎn)P ， .