Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于任意兩點，，如果，則稱與互為“距點”．例如：點，點，由，可得點與互為“距點”．

（1）在點，，中，原點的“距點”是_____(填字母)；

（2）已知點，點，過點作平行于軸的直線．

①當時，直線上點的“距點”的坐標為_____；

②若直線上存在點的“點”，求的取值范圍．

（3）已知點，，，的半徑為，若在線段上存在點，在上存在點，使得點與點互為“距點”，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）．

【解析】

（1）根據定義判斷即可；

（2）①設直線上與點的“距點”的點的坐標為（a，3），根據定義列出關于a的方程，解方程即可；

②點坐標為，直線上點的縱坐標為b，由題意得，轉化為不等式組，解不等式組即可．

（3）分類討論，分別取P與點M重合、P與點N重合討論。當點P與點M重合時，設⊙C左側與x軸交于點Q，則點Q的坐標是（m-，0），根據定義列出關于m的絕對值方程，解方程，取較小的值；當點P與點N重合時，設⊙C右側與x軸交于點Q，則點Q的坐標是（m+，0），根據定義列出關于m的絕對值方程，解方程，取較大的值，問題得解．

解：（1）∵，O（0,0），

∴，

∴點D與原點互為“距點”；

∵，O（0,0），

∴，

所以點D與原點互為“距點”；

∵，O（0,0），

∴，

所以點D與原點互為“距點”；

故答案為：；

（2）①設直線上與點的“距點”的點的坐標為（a，3），

則，

解得a=2

故答案為（2,3）；

②如圖，點坐標為，直線上點的縱坐標為b，設直線上點的坐標為（c，b）

則：，

∴，

∴,

∴,

即的取值范圍是；

（3）如圖（1），當點P與點M重合時，設⊙C左側與x軸交于點Q，則點Q的坐標是（m-，0），

∵點P與點Q互為“5-距點"，P（1,2），

∴，

解得： ，；

∵，

∴取．

當點P與點N重合時，設⊙C右側與x軸交于點Q，則點Q的坐標是（m+，0），

∵點P與點Q互為“5-距點"，則P（3,2），

∴，

解得：， ，

∵

∴取

∴．