【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=x2+bx﹣x軸交于點A(﹣3,0)和點B,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點Px軸上一動點,連接DP,過點PDP的垂線與y軸交于點E.

(1)試求出二次函數(shù)的表達式和點B的坐標;

(2)當點P在線段AO(點P不與A、O重合)運動至何處時,線段OE的長有最大值,求出這個最大值;

(3)是否存在這樣的點P,使PED是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標及此時PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在,請說明理由.

【答案】(1),B(1,0);(2);(3)點P的坐標為(4,0)時,此 時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為

【解析】分析:(1)將點A的坐標代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式,然后求得點B的坐標即可求得正方形ABCD的邊長,從而求得點D的縱坐標.

(2)PA=t,OE=l,利用DAP∽△POE得到比例式,從而得到有關(guān)兩個變量的二次函數(shù),求最值即可.

(3)分點P位于y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可得到重疊部分的面積.

詳解:(1)將點A(﹣3,0)代入y=x2+bx﹣﹣3b﹣=0,解得b=1,

∴二次函數(shù)的表達式為y=x2+x﹣,

當y=0時, x2+x﹣=0,解得x1=1,x2=﹣3,

∴B(1,0);

(2)設(shè)PA=t(﹣3<t<0),則OP=3﹣t,如圖1,

∵DP⊥PE,

∴∠DPA=∠PEO,

∴△DAP∽△POE,

=,即=,

∴OE=﹣t2+t

=﹣(t﹣2+,

∴當t=時,OE有最大值,即P為AO中點時,OE的最大值為;

(3)存在.

當點P在y軸左側(cè)時,如圖2,DE交AB于G點,

∵PD=PE,∠DPE=90°,

∴△DAP≌△POE,

∴PO=AD=4,

∴PA=1,OE=1,

∵AD∥OE,

==4,

∴AG=

∴S△DAG=4=,

∴P點坐標為(﹣4,0),此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為;

當P點在y軸右側(cè)時,如圖3,DE交AB于G點,DP與BC相交于Q,

同理可得△DAP≌△POE,

∴PO=AD=4,

∴PA=7,OE=7,

∵AD∥OE,

==

∴OG=,

同理可得BQ=

∴S四邊形DGBQ=×+1)×4+×4×=

∴當點P的坐標為(4,0)時,此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為

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1 2 備用圖

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