Question

【題目】如圖1，矩形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且其頂點(diǎn)M在CD上。

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：

A ，B ，C ，D ；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線l與直線AB交于點(diǎn)G，與直線BD交于點(diǎn)H，如圖2。

①當(dāng)線段PH=2GH時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時(shí)，點(diǎn)K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH面積的最大值。

　

圖1 圖2 備用圖

Answer 1

【答案】（1）A（0，3），B（4，3），C（4，－1），D（ 0，－ 1）：（2）①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或(-1,8)；

②

【解析】試題分析：（1）令x=0，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式和矩形的性質(zhì)可得C．D的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)待定系數(shù)法可得直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)H（x，x﹣1），點(diǎn)G（x，3）．分三種情況：1°當(dāng)x≥1且x≠4時(shí)；2°當(dāng)0＜x＜1時(shí)；3°當(dāng)x＜0時(shí)；三種情況討論可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得△KPH面積的最大值．

試題解析：解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，﹣1），D（0，﹣1）．

（2）①設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），由于直線BD經(jīng)過(guò)D（0，﹣1），B（4，3），∴，解得： ，∴直線BD的解析式為y=x﹣1．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)H（x，x﹣1），點(diǎn)G（x，3）．

　1°當(dāng)x≥1且x≠4時(shí)，點(diǎn)G在PH的延長(zhǎng)線上，如圖①．

∵PH=2GH，∴（x﹣1）﹣（x2﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，∴x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4．

當(dāng)x2=4時(shí)，點(diǎn)P，H，G重合于點(diǎn)B，舍去，∴x=3，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）．

　2°當(dāng)0＜x＜1時(shí)，點(diǎn)G在PH的反向延長(zhǎng)線上，如圖②，PH=2GH不成立．

　3°當(dāng)x＜0時(shí)，點(diǎn)G在線段PH上，如圖③．

∵PH=2GH，∴（x2﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，∴x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4（舍去），∴x=﹣1．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，8）．

綜上所述可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，8）．

②如圖④，令x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，∴E（1，0），F（3，0），∴EF=2，∴S△AEF=EFOA=3．

∵△KPH∽△AEF，∴，∴．

∵1＜x＜4，∴當(dāng)時(shí)，s△KPH的最大值為．