Question

已知：如圖1，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，∠PBA=∠C．
（1）求證：PB與⊙O相切．
（2）如圖2，連接PA、OP，OP與AB交于點D，且OP∥BC．
①判斷PA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
②若OP=8，BC=4．求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理求出∠ABC=90°，由等邊對等角及已知條件得出∠PBA=∠OBC=∠C，于是推出∠PBO=90°，再根據(jù)切線的判定定理推出即可；
（2）①先由平行線分線段成比例定理得出D為AB中點，結(jié)合平行線的性質(zhì)得到OP是AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出PA=PB，由等邊對等角及已知條件得出∠PAB=∠PBA=∠C，于是推出∠PAO=90°，再根據(jù)切線的判定定理得到PA與⊙O相切；
②設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△PBO∽△ABC，得出

OP

AC

=

OB

BC

，代入數(shù)據(jù)即可求出⊙O的半徑．

解答：（1）證明：如圖1，連接OB．
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠C，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB為半徑，
∴PB是⊙O的切線；

（2）解：①PA與⊙O相切，理由如下：
∵OP∥BC，OA=OC，
∴∠ADO=∠ABC=90°，AD=DB，
∴OP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PAB=∠C，
∴∠PAO=∠PAB+∠BAC=∠C+∠BAC=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
∴OA⊥PA，
∵OA為半徑，
∴PA是⊙O的切線；

②如圖2，連接OB．設(shè)⊙O的半徑為r，則AC=2r，OB=r，
∵OP∥BC，∠OBC=∠C，
∴∠POB=∠OBC=∠C．
在△PBO與△ABC中，

∠POB=∠C ∠PBO=∠ABC=90°

，
∴△PBO∽△ABC，
∴

OP

AC

=

OB

BC

，
∴

8

2r

=

r

4

，
∴r=4，
即⊙O的半徑為4．

點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，用了方程思想．