【題目】如圖1,在正方形和正方形中,邊在邊上,正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
(1)如圖2,當(dāng)時(shí),求證:;
(2)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,設(shè)的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn).①如果存在某一時(shí)刻使得,請(qǐng)求出此時(shí)的長(zhǎng);②若正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了,求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).
【答案】(1)見詳解;(2) ;.
【解析】
(1)由正方形的性質(zhì)得出AD=AB,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°,由∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠DAG+∠EAD=∠EAG,推出∠BAE=∠DAG,由SAS即可證得△DAG≌△BAE;
(2)①由AB=2,AE=1,由勾股定理得AF=AE=,易證△ABF是等腰三角形,由AE=EF,則直線BE是AF的垂直平分線,設(shè)BE的延長(zhǎng)線交AF于點(diǎn)O,交AD于點(diǎn)H,則OE=OA=,由勾股定理得OB=,由cos∠ABO=,cos∠ABH=,求得BH=,由勾股定理得AH==,則DH=ADAH=2,由∠DHP=∠BHA,∠BAH=∠DPH=90°,證得△BAH∽△DPH,得出,即可求得DP;
②由△DAG≌△BAE,得出∠ABE=∠ADG,由∠BPD=∠BAD=90°,則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BD為直徑的,由正方形的性質(zhì)得出BD=AB=2,由正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了60°,得出∠BAE=60°,由AB=2AE,得出∠BEA=90°,∠ABE=30°,B、E、F三點(diǎn)共線,同理D、F、G三點(diǎn)共線,則P與F重合,得出∠ABP=30°,則所對(duì)的圓心角為60°,由弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)果.
解答:(1)證明:在正方形ABCD和正方形AEFG中,AD=AB,AGspan>=AE,∠BAD=∠EAG=90°,
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠DAG+∠EAD=∠EAG,
∴∠BAE=∠DAG,
在△DAG和△BAE中,
,
∴△DAG≌△BAE(SAS);
∴BE=DG;
(2)解:①∵AB=2AE=2,
∴AE=1,
由勾股定理得,AF=AE=,
∵BF=BC=2,
∴AB=BF=2,
∴△ABF是等腰三角形,
∵AE=EF,
∴直線BE是AF的垂直平分線
,設(shè)BE的延長(zhǎng)線交AF于點(diǎn)O,交AD于點(diǎn)H,如圖3所示:
則OE=OA=,
∴OB=,
∵cos∠ABO=,cos∠ABH=,
∴BH=,
AH==,
∴DH=ADAH=2,
∵∠DHP=∠BHA,∠BAH=∠DPH=90°,
∴△BAH∽△DPH,
∴,
即
∴DP=;
②
∵△DAG≌△BAE,
∴∠ABE=∠ADG,
∵∠BPD=∠BAD=90°,
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BD為直徑的,
BD=AB=2,
∵正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了60°,
∴∠BAE=60°,
∵AB=2AE,
∴∠BEA=90°,∠ABE=30°,
∴B、E、F三點(diǎn)共線,
同理D、F、G三點(diǎn)共線,
∴P與F重合,
∴∠ABP=30°,
∴所對(duì)的圓心角為60°,
∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓、、,組成一條平滑的曲線,點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度,則第2019秒時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)是____.
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【題目】如圖,在斜坡的頂部有一鐵塔AB,B是CD的中點(diǎn),CD是水平的,在陽(yáng)光的照射下,塔影DE留在坡面上.已知鐵塔底座寬CD=12 m,塔影長(zhǎng)DE=18 m,小明和小華的身高都是1.6m,同一時(shí)刻,小明站在點(diǎn)E處,影子在坡面上,小華站在平地上,影子也在平地上,兩人的影長(zhǎng)分別為2m和1m,那么塔高AB為( )
A. 24m B. 22m C. 20m D. 18m
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=12cm,點(diǎn) D 為△ABC 內(nèi)一點(diǎn),∠BAD=15°,AD= 4 cm,連接 BD,將△ABD 繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使 AB 與 AC 重合,點(diǎn) D 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn) E,連接 DE,DE 交 AC 于點(diǎn) F,則 CF 的長(zhǎng)為__________cm.
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【題目】如圖,點(diǎn)在正方形外,連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線交于,若,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.B.點(diǎn)到直線的距離為
C.D.
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【題目】被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國(guó)古代算法的扛鼎之作.《九章算術(shù)》中記載:“今有五雀、六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕.一雀一燕交而處,衡適平.并燕、雀重一斤.問(wèn)燕、雀一枚各重幾何?”
譯文:“今有5只雀、6只燕,分別聚集而且用衡器稱之,聚在一起的雀重,燕輕.將一只雀、一只燕交換位置而放,重量相等.5只雀、6只燕重量為1斤.問(wèn)雀、燕毎只各重多少斤?”
設(shè)每只雀重x斤,每只燕重y斤,可列方程組為_______.
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【題目】在下列網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為個(gè)單位長(zhǎng)度.已知在網(wǎng)格圖中的位置如圖所示.
(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫出向右平移單位后的圖形,并直接寫出平移過(guò)程中線段掃過(guò)的面積;
(2)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫出以為對(duì)稱中心的圖形.(保留作圖痕跡)
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【題目】某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取次,數(shù)據(jù)如下(單位:分).
甲 | ||||||||
乙 |
(1)請(qǐng)你計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù).
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪名工人參加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了慶祝校園藝術(shù)節(jié),準(zhǔn)備購(gòu)買一批盆花布置校園.已知1盆A種花和2盆B種花一共需13元,2盆A種花和1盆B種花一共需11元.
(1)求1盆A種花和1盒B種花的售價(jià)各是多少元?
(2)學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種盆花共100盆,并且A種盆花的數(shù)量不超過(guò)B種盆花數(shù)量的2倍,請(qǐng)求出A種盆花的數(shù)量最多是多少?
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