Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度分別沿折線B→A→C、射線BC運(yùn)動(dòng)，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQ=x，△BPQ與△ABC重疊部分的面積為S．如圖2是S關(guān)于x的函數(shù)圖象（其中0≤x≤8，8＜x≤m，m＜x≤16時(shí)，函數(shù)的解析式不同）．

（1）填空：m的值為 ；

（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）請直接寫出△PCQ為等腰三角形時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)當(dāng)0≤m≤8時(shí)，s =；當(dāng)＜x≤16時(shí)，s=+4x；當(dāng)＜x≤16時(shí)，s=；(3)+4或8+．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意求出BC的長即可．

（2）分三種情形①0≤m≤8，②＜x≤16，③＜x≤16，分別求出△APQ面積即可．

（3）分三種情形討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，△PQC不可能為等腰三角形．②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，根據(jù)PQ=QC列出方程即可.③當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC的延長線，根據(jù)CP=CQ列出方程即可．

試題解析：（1）如圖1中，作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足分別為M，N．

由題意AB=AC=8，∠A=120°，

∴∠BAM=∠CAM=60°，∠B=∠C=30°，

∴AM=AB=4，BM=CM=，

∴BC=，

∴m=BC=，

故答案為：．

（2）①當(dāng)0≤m≤8時(shí)，如圖1中，

在RT△PBN中，∵∠PNB=90°，∠B=30°，PB=x，

∴PN=x．

s=BQPN=xx=．

②當(dāng)＜x≤16時(shí)，如圖2中，

在RT△PBN中，span>∵PC=16﹣x，∠PNC=90°，∠C=30°，

∴PN=PC=8﹣x，

∴s=BQPN=x（8﹣x）=+4x．

③當(dāng)＜x≤16時(shí)，

s=×（8﹣x）=，

綜上，當(dāng)0≤m≤8時(shí)，s =；當(dāng)＜x≤16時(shí)，s=+4x；當(dāng)＜x≤16時(shí)，s=.

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，△PQC不可能是等腰三角形．

②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，PQ=QC，

∵PC=QC，

∴16﹣x=（﹣x），

∴x=+4．

③當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC的延長線時(shí)，PC=CQ，

即16﹣x=x﹣，

∴x=8+．

∴△PCQ為等腰三角形時(shí)x的值為+4或8+．