Question

（本題滿分14分）如圖1，四邊形ABCD是邊長為的正方形，長方形AEFG的寬,長．將長方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到長方形AMNH （如圖2），這時(shí)BD與MN相交于點(diǎn)O．

（1）求的度數(shù)；

（2）在圖2中，求D、N兩點(diǎn)間的距離；

（3）若把長方形AMNH繞點(diǎn)A再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到長方形ARTZ,請問此時(shí)點(diǎn)B在矩形ARTZ的

內(nèi)部、外部、還是邊上？并說明理由.

 

Answer 1

（1）∠DOM=120°（2）DN=5（3）點(diǎn)B在矩形ARTZ的外部

【解析】

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性質(zhì)，可得

∠ABD=45°，然后利用外角的性質(zhì)，即可求得∠DOM的度數(shù)；

（2）首先連接AM，交BD于I，連接AN，由特殊角的三角函數(shù)值，求得∠HAN=30°，又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求得∠DAN=45°，即可證得A，C，N共線，然后由勾股定理求得答案；

（3）在Rt△ARK中，利用三角函數(shù)即可求得AK的值，與AB比較大小，即可確定B的位置．

試題解析：（1）如圖，設(shè)AB與MN相交于點(diǎn)K，根據(jù)題意得：∠BAM=15°，

∵四邊形AMNH是矩形，∴∠M=90°.

∴∠AKM=90°－∠BAM=75°.

∴∠BKO=∠AKM=75°.

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°.

∴∠DOM=∠BKO+?ABD=75°+45°=120°.

（2）連接AN，交BD于I，連接DN，

∵NH=，AH=，∠H=90°，

∴。∴∠HAN=30°.

∴AN=2NH=7.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：∠DAH=15°，∴∠DAN=45°.

∵∠DAC=45°，∴A，C，N共線.

∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.

∵AD=CD=，∴.

∴NI=AN－AI=7－3=4.

在Rt△DIN中，.

（3）點(diǎn)B在矩形ARTZ的外部.理由如下：

如圖，根據(jù)題意得：∠BAR=15°+15°=30°.

∵∠R=90°，AR= ，

∴。

∵，

∴AB= ＞.

∴點(diǎn)B在矩形ARTZ的外部.

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì), 外角的性質(zhì), 特殊角的三角函數(shù)值,勾股定理