Question

直線l：y=-2x+8與x軸、y軸交于點A、B，點P（0，t）是y軸上一動點，使⊙P的半徑為3，在點P運動的過程中，點C是直線上l一點，過點C作⊙P的切線CD、CE，若CD⊥CE，且這樣的點C有且只有一個，求C點坐標．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：連接PD、PE、PC，如圖1，易證四邊形PDCE是正方形，從而求出PC，由于符合條件的點C有且只有一個，因此PC⊥AB，然后分別對點C在y軸的右側、左側進行討論，運用相似三角形的性質就可解決問題．

解答：解：連接PD、PE、PC，如圖1．
∵CD、CE是⊙P的切線，
∴∠PEC=∠PDC=90°．
∵CD⊥CE，
∴∠DCE=∠PEC=∠PDC=90°，
∴四邊形PDCE是矩形．
∵PD=PE，
∴矩形PDCE是正方形．
∴PC=

2

PD=3

2

．
∵符合條件的點C有且只有一個，↑
∴PC⊥AB，且PC=3

2

．
①若點C在y軸的右側，
過點C作CH⊥OB于H，如圖2．
由直線y=-2x+8可知A的坐標為（4，0）、B的坐標為（0，8），
則有OA=4，OB=8，AB=

42+82

=4

5

．
∵∠PBC=∠ABO，∠BCP=∠BOA=90°，
∴△BCP∽△BOA．
∴

BC

BO

=

BP

BA

=

CP

OA

=

3 2

4

．
∴

BC

8

=

BP

4 5

=

3 2

4

．
∴BC=6

2

，BP=3

10

．
同理可得：△BCH∽△BAO．
∴

CH

OA

=

BH

BO

=

BC

BA

．
∴

CH

4

=

BH

8

=

6 2

4 5

．
∴CH=

6 10

5

，BH=

12 10

5

．
∴OH=OB-BH=8-

12 10

5

，
∴點C的坐標為（

6 10

5

，8-

12 10

5

）．
②若點C在y軸的左側，
同理可得：點C的坐標為（-

6 10

5

，8+

12 10

5

）．
∴點C的坐標為（

6 10

5

，8-

12 10

5

）或（-

6 10

5

，8+

12 10

5

）．

點評：本題主要考查了切線的性質、正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，有一定的綜合性，需要注意的是點C是動點，它的坐標與位置有關，故需分情況討論，否則就會出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象．