Question

直線l：y=-2x+8與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P（0，t）是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，使⊙P的半徑為3，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)C是直線上l一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙P的切線CD、CE，若CD⊥CE，且這樣的點(diǎn)C有且只有一個(gè)，求C點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：連接PD、PE、PC，如圖1，易證四邊形PDCE是正方形，從而求出PC，由于符合條件的點(diǎn)C有且只有一個(gè)，因此PC⊥AB，然后分別對(duì)點(diǎn)C在y軸的右側(cè)、左側(cè)進(jìn)行討論，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題．

解答：解：連接PD、PE、PC，如圖1．
∵CD、CE是⊙P的切線，
∴∠PEC=∠PDC=90°．
∵CD⊥CE，
∴∠DCE=∠PEC=∠PDC=90°，
∴四邊形PDCE是矩形．
∵PD=PE，
∴矩形PDCE是正方形．
∴PC=

2

PD=3

2

．
∵符合條件的點(diǎn)C有且只有一個(gè)，↑
∴PC⊥AB，且PC=3

2

．
①若點(diǎn)C在y軸的右側(cè)，
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OB于H，如圖2．
由直線y=-2x+8可知A的坐標(biāo)為（4，0）、B的坐標(biāo)為（0，8），
則有OA=4，OB=8，AB=

42+82

=4

5

．
∵∠PBC=∠ABO，∠BCP=∠BOA=90°，
∴△BCP∽△BOA．
∴

BC

BO

=

BP

BA

=

CP

OA

=

3 2

4

．
∴

BC

8

=

BP

4 5

=

3 2

4

．
∴BC=6

2

，BP=3

10

．
同理可得：△BCH∽△BAO．
∴

CH

OA

=

BH

BO

=

BC

BA

．
∴

CH

4

=

BH

8

=

6 2

4 5

．
∴CH=

6 10

5

，BH=

12 10

5

．
∴OH=OB-BH=8-

12 10

5

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

6 10

5

，8-

12 10

5

）．
②若點(diǎn)C在y軸的左側(cè)，
同理可得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

6 10

5

，8+

12 10

5

）．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

6 10

5

，8-

12 10

5

）或（-

6 10

5

，8+

12 10

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性，需要注意的是點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，它的坐標(biāo)與位置有關(guān)，故需分情況討論，否則就會(huì)出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象．