Question

【題目】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊的其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．

（初步思考）

我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．

（深入探究）

第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．

（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據(jù)______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．

（2）如圖②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角．求證：△ABC≌△DEF．

第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角．請(qǐng)你用直尺在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作簡(jiǎn)要說明．

Answer 1

【答案】（1）HL；（2）見解析；（3）如圖②，見解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；

（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；

（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．

（1）在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等運(yùn)用的是HL．

（2）證明：如圖①，分別過點(diǎn)C、F作對(duì)邊AB、DE上的高CG、FH，其中G、H為垂足．

∵∠ABC、∠DEF都是鈍角

∴G、H分別在AB、DE的延長(zhǎng)線上．

∵CG⊥AG，FH⊥DH，

∴∠CGA＝∠FHD＝90°．

∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，

∴∠CBG＝∠FEH．

在△BCG和△EFH中，

∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，

∴△BCG≌△EFH．

∴CG＝FH．

又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．

∴∠A＝∠D．

在△ABC和△DEF中，

∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF．

（3）如圖②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．