Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，E為邊AB上一點，ED=CD，以CE為直徑作⊙O，交BC于點F．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）若DF=1，DC=3，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，AD⊥BC得到BD=CD，則可判斷OD為△BCE的中位線，所以O(shè)D∥BE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由DE=DC，OE=OC得到DO⊥CE，則BE⊥CE，于是根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷AB與⊙O相切；

（2）連結(jié)EF，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠EFC=90°，在Rt△DEF中利用勾股定理計算出EF=2，再在Rt△BEF中利用勾股定理計算出BE=2，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可求出AE的長．

試題解析：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∵OE=OC，

∴OD為△BCE的中位線，

∴OD∥BE，

∵DE=DC，OE=OC，

∴DO⊥CE，

∴BE⊥CE，

∴AB與⊙O相切；

（2）連結(jié)EF，如圖，

∵CE為⊙O的直徑，

∴∠EFC=90°，

在Rt△DEF中，∵DE=DC=3，DF=1，

∴EF=，

∵DB=DC=3，

∴BF=BD-DF=3-1=2，

在Rt△BEF中，∵EF=2，BF=2，

∴BE=，

∵EF∥AD，

∴，即，

∴AE=．