Question

如圖，AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，弦CD與AB、BF分別相交于點(diǎn)E、G，過(guò)點(diǎn)F的切線HF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，且AB⊥CD．
（1）求證：HF=HG；
（2）若sin∠HGF=

3

4

，BF=3，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AF，根據(jù)切線的性質(zhì)求得∠BFH=∠FAB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)首先求出∠BGE=∠FAB，進(jìn)而得出∠BFH=∠FGH，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出HF=HG；
（2）根據(jù)∠HGF=∠A，利用銳角三角函數(shù)得出AB即可得出半徑．

解答：（1）證明：如圖，連接AF，
∵HF是⊙O的切線，
∴∠BFH=∠FAB，
∵AB是直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠FBA=90°．
∵AB⊥CD．
∴∠BGE+∠FBA=90°，
∴∠BGE=∠FAB，
∵∠FGH=∠BGE，
∴∠BFH=∠FGH，
∴HF=HG；
（2）解：∵∠AFB=90°，∠HGF=∠FAB，
∴sin∠HGF=sin∠FAB=

BF

AB

=

3

4

，
∴AB=

4BF

3

=

4×3

3

=4．
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)應(yīng)用，根據(jù)已知得出∠HGF=∠BGE=∠A是解題關(guān)鍵．