Question

如圖所示，過正方形ABCD的頂點A作對角線BD的平行線，在這條直線上取一點E，使BD=ED，且DE與AB交于點F，證明：BE=BF．

Answer 1

考點：正方形的性質,等腰三角形的性質,含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：過A作AG垂直BD于G，過E作EH垂直BD于H．先證明四邊形AEHG為矩形，根據矩形和正方形的性質得到AG=EH=

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DB，進一步得到EH=

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DE，由直角三角形EHD中，EH為斜邊DE的一半得到∠EDH=30°，再根據等腰三角形的性質和角的和差關系得到∠BFE=∠DEB，從而得到BE=BF．

解答：證明：過A作AG垂直BD于G，過E作EH垂直BD于H．
∵AE∥DB，
∴四邊形AEHG為矩形，
∴AG=EH=

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DB，
又∵DE=DB，
∴EH=

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DE，
∴∠EDH=30°（直角三角形EHD中，EH為斜邊DE的一半）
又∵BD=DE，
∴∠DEB=∠EBD=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠BFE=∠FBD+∠FDB=45°+30°=75°=∠DEB，
∴BE=BF．

點評：考查了矩形的判定和性質，正方形的性質，含30度角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質，關鍵是作出輔助線．