Question

如圖所示，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作對(duì)角線BD的平行線，在這條直線上取一點(diǎn)E，使BD=ED，且DE與AB交于點(diǎn)F，證明：BE=BF．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：過(guò)A作AG垂直BD于G，過(guò)E作EH垂直BD于H．先證明四邊形AEHG為矩形，根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)得到AG=EH=

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DB，進(jìn)一步得到EH=

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DE，由直角三角形EHD中，EH為斜邊DE的一半得到∠EDH=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得到∠BFE=∠DEB，從而得到BE=BF．

解答：證明：過(guò)A作AG垂直BD于G，過(guò)E作EH垂直BD于H．
∵AE∥DB，
∴四邊形AEHG為矩形，
∴AG=EH=

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DB，
又∵DE=DB，
∴EH=

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DE，
∴∠EDH=30°（直角三角形EHD中，EH為斜邊DE的一半）
又∵BD=DE，
∴∠DEB=∠EBD=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠BFE=∠FBD+∠FDB=45°+30°=75°=∠DEB，
∴BE=BF．

點(diǎn)評(píng)：考查了矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線．