Question

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠CBD=30°，DE垂直平分AC，求證：AB=AD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)C作CG⊥BD交BD的延長線于G，連接CD、EF、EG、FG，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BF=CF=

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BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得FG=

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BC，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BCG=60°，然后判斷出△CFG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得FG=CG，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=CE=

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AC，再利用“邊邊邊”證明△ECG和△EFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠EGC=∠EGF=30°，再求出點(diǎn)E、F、G、C四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等求出∠CDE=∠EGC=30°，然后求出∠ACD=60°，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=CD，然后判斷出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=AC，然后等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)C作CG⊥BD交BD的延長線于G，連接CD、EF、EG、FG，
∵AB=AC，
∴BF=CF=

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BC，
∴FG=CF=

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BC，
∵∠CBD=30°，
∴∠BCG=90°-30°=60°，
∴△CFG是等邊三角形，
∴FG=CG，∠CGF=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴EF=CE=

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AC，
在△ECG和△EFG中，

EF=CE FG=CG EG=EG

，
∴△ECG≌△EFG（SSS），
∴∠EGC=∠EGF=

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∠CGF=

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×60°=30°，
∵∠BGC=∠CED=90°，
∴點(diǎn)E、D、G、C四點(diǎn)共圓，
∴∠CDE=∠EGC=30°，
∴∠ACD=90°-∠CDE=90°-30°=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AD=AC，
∵AB=AC，
∴AB=AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出等邊三角形和全等三角形，利用四點(diǎn)共圓求出∠CDE=30°是解題的關(guān)鍵．