Question

如圖，矩形紙片ABCD長AD為4cm，寬AB為3cm，折疊紙片使各相對兩頂點A、C重合．
（1）求折痕EF的長；
（2）證明折痕EF垂直其中一條對角線．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)翻折變換的性質可得AF=FC，CG=

1

2

AC，設AF=FC=x，表示出BF，再利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式求出FG，再利用“角角邊”證明△AEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EG=FG，然后求解即可；
（2）根據(jù)翻折變換的性質可得∠AGF=∠CGF，再根據(jù)平角的定義求出∠AGF=90°，從而得證．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=4cm，
由勾股定理得，AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5，
由翻折變換的性質得，AF=FC，AG=CG=

1

2

AC=

5

2

，
設AF=FC=x，則BF=4-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即3²+（4-x）²=x²，
解得x=

25

8

，
在Rt△CFG中，F(xiàn)G=

FC2-CG2

=

( 25 8 )2-( 5 2 )2

=

15

8

，
∵矩形的對邊AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，∠AEF=∠CFE，
在△AEG和△CFG中，

∠ACB=∠DAC ∠AEF=∠CFE AG=CG

，
∴△AEG≌△CFG（AAS），
∴EG=FG，
∴折痕EF=2FG=2×

15

8

=

15

4

；

（2）證明：∵折疊紙片兩頂點A、C重合，
∴∠AGF=∠CGF，
又∵∠AGF+∠CGF=180°，
∴∠AGF=90°，
∴EF⊥AC，
即折痕EF垂直其中一條對角線．

點評：本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，全等三角形判定與性質，難點在于利用勾股定理列出方程求出相應的邊長．