【題目】在△ABC 中,BC=AC,∠BCA=90°,P 為直線 AC 上一點(diǎn),過(guò) A作 AD⊥BP 于 D,交直線 BC 于 Q.
(1)如圖 1,當(dāng) P 在線段 AC 上時(shí),求證:BP=AQ.
(2)當(dāng) P 在線段 AC 的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)?jiān)趫D 2 中畫(huà)出圖形,并求∠CPQ.
(3)如圖 3,當(dāng) P 在線段 AC 的延長(zhǎng)線上時(shí),∠DBA= 時(shí),AQ=2BD.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) 45°;(3) 22.5°.
【解析】
(1)首先根據(jù)內(nèi)角和定理得出∠DAP=∠CBP,進(jìn)而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案;
(2)首先證明△AQC≌△BPC(ASA),進(jìn)而得出PC=CQ,利用等腰三角形的性質(zhì)得出即可;
(3)首先證明∠P=∠Q,進(jìn)而得出△ACQ≌△BCP(ASA),即可得出BP=AQ,求出即可.
(1)∵∠ACB=∠ADB=90°,∠APD=∠BPC,∴∠DAP=∠CBP.
在△ACQ和△BCP中,∵,∴△ACQ≌△BCP(ASA),∴BP=AQ;
(2)如圖2所示:
∵∠ACQ=∠BDQ=90°,∠AQC=∠BQD,∴∠CAQ=∠DBQ.
在△AQC和△BPC中,∵,∴△AQC≌△BPC(ASA),∴QC=CP.
∵∠QCD=90°,∴∠CQP=∠CPQ=45°;
(3)當(dāng)∠DBA=22.5°時(shí),AQ=2BD.
∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠BAC=45°,∴∠P=22.5°,∴∠DBA=∠P,∴AP=AB.
∵AD⊥BP,∴AD=DP.
∵∠ACQ=∠ADP=90°,∠PAD=∠QAC,∴∠P=∠Q.在△ACQ和△BCP中,∵
,∴△ACQ≌△BCP(ASA),∴BP=AQ,∴此時(shí)AQ=BP=2BD.
故答案為:22.5°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題探究:
①新知學(xué)習(xí)
若把將一個(gè)平面圖形分為面積相等的兩個(gè)部分的直線叫做該平面圖形的“面線”,其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”(例如圓的直徑就是圓的“面徑”).
②解決問(wèn)題
已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2.
(1)如圖一,若AD⊥BC,垂足為D,試說(shuō)明AD是△ABC的一條面徑,并求AD的長(zhǎng);
(2)如圖二,若ME∥BC,且ME是△ABC的一條面徑,求面徑ME的長(zhǎng);
(3)如圖三,已知D為BC的中點(diǎn),連接AD,M為AB上的一點(diǎn)(0<AM<1),E是DC上的一點(diǎn),連接ME,ME與AD交于點(diǎn)O,且S△MOA=S△DOE .
①求證:ME是△ABC的面徑;
②連接AE,求證:MD∥AE;
(4)請(qǐng)你猜測(cè)等邊三角形ABC的面徑長(zhǎng)l的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,和都是等邊三角形,連接AC,DE,CD.
(1)猜想AC與DE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由。
(2)給出定義:若一個(gè)四邊形中存在一組鄰邊的平方等于一條對(duì)角線的平方,則這個(gè)四邊形為勾股四邊形.如圖,若,求證:四邊形ABCD是勾股四邊形。
(3)設(shè),,的面積分別是,若,試探究與之間滿足的等量關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連結(jié)AG,分別交BD、CD于點(diǎn)E、F,連結(jié)CE.
(1)求證:∠DAE=∠DCE;
(2)當(dāng)CE=2EF時(shí),EG與EF的等量關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,AD的垂線平分線交AB于點(diǎn)F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE,DF.
求證:(1)∠EAD=∠EDA;(2)DF//AC;(3)∠EAC=∠B.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】列一元一次方程解應(yīng)用題:
社會(huì)是一個(gè)重要的學(xué)校和課堂,生活是一種重要的課程和教材,實(shí)踐是一種重要的學(xué)習(xí)方式和途徑.參加社會(huì)生活和社會(huì)實(shí)踐,不僅可以學(xué)到很多在課堂上學(xué)不到的東西,也可以把課堂上學(xué)到的理論知識(shí)同社會(huì)實(shí)踐聯(lián)系起來(lái),加深對(duì)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解,我區(qū)某校七年級(jí)學(xué)生在農(nóng)場(chǎng)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí),采摘了黃瓜和茄子共80千克,了解到這些蔬菜的種植成本共180元,還了解到如下信息:
(1)求采摘的黃瓜和茄子各多少千克?
(2)這些采摘的黃瓜和茄子可賺多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】同學(xué)們都知道,|4―(―2)|表示4與-2的差的絕對(duì)值,實(shí)際上也可以理解為4與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離;同理|x―3|也可以理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離,試探索并完成填空。
(1)求|8―(―3)|= ;|-3―5|= 。
(2)如圖,x是0到4之間(包括0,4)的一個(gè)數(shù),那么|x―1|+|x―2|+|x―3|+|x―4|的最小值等于多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)九年級(jí)學(xué)生共450人,其中男生250人,女生200人.該校對(duì)九年級(jí)所有學(xué)生進(jìn)行了一次體育測(cè)試,并隨機(jī)抽取了50名男生和40名女生的測(cè)試成績(jī)作為樣本進(jìn)行分析,繪制成如下的統(tǒng)計(jì)表:
(1)請(qǐng)解釋“隨機(jī)抽取了50名男生和40名女生”的合理性;
(2)從上表的“頻數(shù)”、“百分比”兩列數(shù)據(jù)中選擇一列,用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表示;
(3)估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)不及格的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批節(jié)能燈,已知1只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需26元;3只A型節(jié)能燈和2只B型節(jié)能燈共需29元.
(1)求一只A型節(jié)能燈和一只B型節(jié)能燈的售價(jià)各是多少元;
(2)學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的節(jié)能燈共50只,并且A型節(jié)能燈的數(shù)量不多于B型節(jié)能燈數(shù)量的3倍,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案,并說(shuō)明理由.
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