Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E為AB的中點，連接CE，BD，過點E作FE⊥CE于點E，交AD于點F，連接CF，已知2AD=AB=BC．

（1）求證：CE=BD；
（2）若AB=4，求AF的長度；
（3）求sin∠EFC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵E為AB的中點，

∴AB=2BE，

∵AB=2AD，

∴BE=AD，

∵∠A=90°，AD∥BC，

∴∠ABC=90°，

在△ABD與△BCE中， ，

∴△ABD≌△BCE，

∴CE=BD；

（2）解：∵AB=4，

∴AE=BE=2，BC=4，

∵FE⊥CE，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEC=90°，

∴∠AFE=∠BEC，

∴△AEF∽△BCE，

∴ ，

∴AF=1；

（3）解：∵△AEF∽△BCE，

∴ ，

∴AF= AE，

設(shè)AF=k，則AE=BE=2k，BC=4k，

∴EF= = k，

CE= =2 k，

∴CF= =5k，

∴sin∠EFC= =

【解析】（1）由E為AB的中點，得到AB=2BE，等量代換得到BE=AD，推出△ABD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到CE=BD；
（2）根據(jù)已知條件得到AE=BE=2，BC=4，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AFE=∠BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到AF的長度；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF=AE，設(shè)AF=k，則AE=BE=2k，BC=4k，根據(jù)勾股定理得到EF、CE、CF的值，再由三角函數(shù)的定義即可得到sin∠EFC的值．
【考點精析】利用平行線的性質(zhì)和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．