Question

【題目】已知點(diǎn)A，B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C，D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A，B，C，D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，我們稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的“伴侶正方形”．
例如：在圖1中，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)“伴侶正方形”．

（1）如圖1，若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有“伴侶正方形”的邊長(zhǎng)；
（2）如圖2，若某函數(shù)是反比例函數(shù) （k＞0），它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)的解析式；
（3）如圖3，若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0），它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD，C，D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），請(qǐng)你直接寫(xiě)出該二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：（I）當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸、點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)：

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 ．

（II）當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)：

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，易得3a= ，

解得a= ，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為 ．

∴所求“伴侶正方形”的邊長(zhǎng)為 或

（2）解：如圖，作DE⊥x軸，CF⊥y軸，垂足分別為點(diǎn)E、F，

易證△ADE≌△BAO≌△CBF．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，m），m＜2，

∴DE=OA=BF=m，

∴OB=AE=CF=2﹣m．

∴OF=BF+OB=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2﹣m，2）．

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

∴反比例函數(shù)的解析式為y=

（3）解：實(shí)際情況是拋物線開(kāi)口向上的兩種情況中，另一個(gè)點(diǎn)都在（3，4）的左側(cè)，而開(kāi)口向下時(shí)，另一點(diǎn)都在（3，4）的右側(cè)，與上述解析明顯不符合

a、當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：另外一個(gè)頂點(diǎn)為（4，1），對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ x2+ ；

b、當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上，點(diǎn) B在 y軸正半軸上，點(diǎn)D 坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：不存在，

c、當(dāng)點(diǎn)A 在 x 軸正半軸上，點(diǎn) B在 y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C 坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：不存在

d、當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：另外一個(gè)頂點(diǎn)C為（﹣1，3），對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是y= x2+ ；

e、當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4）時(shí)，另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，﹣3）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ x2+ ；

f、當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4）時(shí)，另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣4，7）時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線為y= x2+ ；

故二次函數(shù)的解析式分別為：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+

【解析】（1）先正確地畫(huà)出圖形，再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)從而計(jì)算正方形的邊長(zhǎng).
（2）因?yàn)锳BCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點(diǎn)D（2，m）的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，可求出m的值 ，即可得到反比例函數(shù)的解析式．
（3）由拋物線開(kāi)口既可能向上，也可能向下．當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，正方形的另一個(gè)頂點(diǎn)也是在拋物線上，這個(gè)點(diǎn)既可能在點(diǎn)（3，4）的左邊，也可能在點(diǎn)（3，4）的右邊，過(guò)點(diǎn)（3，4）向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長(zhǎng)即可確定拋物線上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)也是一樣地分為兩種情況來(lái)討論，即可得到所求的結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大即可以解答此題．