【題目】已知點(diǎn)A,B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C,D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn),當(dāng)四邊形ABCD(A,B,C,D各點(diǎn)依次排列)為正方形時(shí),我們稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的“伴侶正方形”.
例如:在圖1中,正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)“伴侶正方形”.

(1)如圖1,若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1,求它的圖象的所有“伴侶正方形”的邊長(zhǎng);
(2)如圖2,若某函數(shù)是反比例函數(shù) (k>0),它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD,點(diǎn)D(2,m)(m<2)在反比例函數(shù)圖象上,求m的值及反比例函數(shù)的解析式;
(3)如圖3,若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0),它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD,C,D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),請(qǐng)你直接寫出該二次函數(shù)的解析式.

【答案】
(1)解:(I)當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸、點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí):

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

(II)當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí):

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,易得3a= ,

解得a= ,此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為

∴所求“伴侶正方形”的邊長(zhǎng)為


(2)解:如圖,作DE⊥x軸,CF⊥y軸,垂足分別為點(diǎn)E、F,

易證△ADE≌△BAO≌△CBF.

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,m),m<2,

∴DE=OA=BF=m,

∴OB=AE=CF=2﹣m.

∴OF=BF+OB=2,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2﹣m,2).

∴2m=2(2﹣m),解得m=1.

∴反比例函數(shù)的解析式為y=


(3)解:實(shí)際情況是拋物線開口向上的兩種情況中,另一個(gè)點(diǎn)都在(3,4)的左側(cè),而開口向下時(shí),另一點(diǎn)都在(3,4)的右側(cè),與上述解析明顯不符合

a、當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上,點(diǎn)B在y軸正半軸上,點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,4)時(shí):另外一個(gè)頂點(diǎn)為(4,1),對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ x2+ ;

b、當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上,點(diǎn) B在 y軸正半軸上,點(diǎn)D 坐標(biāo)為(3,4)時(shí):不存在,

c、當(dāng)點(diǎn)A 在 x 軸正半軸上,點(diǎn) B在 y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)C 坐標(biāo)為(3,4)時(shí):不存在

d、當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上,點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,4)時(shí):另外一個(gè)頂點(diǎn)C為(﹣1,3),對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是y= x2+

e、當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,4)時(shí),另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(7,﹣3)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ x2+

f、當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,4)時(shí),另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(﹣4,7)時(shí),對(duì)應(yīng)的拋物線為y= x2+ ;

故二次函數(shù)的解析式分別為:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+


【解析】(1)先正確地畫出圖形,再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)從而計(jì)算正方形的邊長(zhǎng).
(2)因?yàn)锳BCD為正方形,所以可作垂線得到等腰直角三角形,利用點(diǎn)D(2,m)的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo),可求出m的值 ,即可得到反比例函數(shù)的解析式.
(3)由拋物線開口既可能向上,也可能向下.當(dāng)拋物線開口向上時(shí),正方形的另一個(gè)頂點(diǎn)也是在拋物線上,這個(gè)點(diǎn)既可能在點(diǎn)(3,4)的左邊,也可能在點(diǎn)(3,4)的右邊,過(guò)點(diǎn)(3,4)向x軸作垂線,利用全等三角形確定線段的長(zhǎng)即可確定拋物線上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)拋物線開口向下時(shí)也是一樣地分為兩種情況來(lái)討論,即可得到所求的結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì),掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線.反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形.有兩條對(duì)稱軸:直線y=x和 y=-x.對(duì)稱中心是:原點(diǎn);性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小; 當(dāng)k<0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,已知ABC中∠BAC=135°,點(diǎn)E,點(diǎn)FBC上,EM垂直平分ABAB于點(diǎn)M,FN垂直平分ACAC于點(diǎn)N,BE=12,CF=9

1)判斷EAF的形狀,并說(shuō)明理由;

2)求EAF的周長(zhǎng).

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1)當(dāng)點(diǎn)PMO上運(yùn)動(dòng)時(shí),PO=______cm(用含t的代數(shù)式表示);

2)當(dāng)點(diǎn)P在線段MO上運(yùn)動(dòng)時(shí),t為何值時(shí),OP=OQ?此時(shí)射線OCAOB的角平分線嗎?如果是請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)在射線OB上是否存在PQ相距2cm?若存在,請(qǐng)求出t的值并求出此時(shí)BOC的度數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】乘法公式的探究及應(yīng)用.

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片,A種紙片邊長(zhǎng)為a的正方形,B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形,C種紙片長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形,并用A種紙片一張,B種紙片一張,C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

(1)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.方法1______;方法2_______

(2)觀察圖2,請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式:(a+b)2,a2+b2ab之間的等量關(guān)系._______;

(3)類似的,請(qǐng)你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)使長(zhǎng)方形面積為:3a2+7ab+2b2,并對(duì)3a2+7ab+2b2因式分解為_______.

(4)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問(wèn)題:

①已知:a+b5,a2+b211,求ab的值;

②已知(x2016)2+(x2018)234,求(x2017)2的值.

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(1)求證:CE=BD;
(2)若AB=4,求AF的長(zhǎng)度;
(3)求sin∠EFC的值.

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1)畫出ABCAB邊上的高CH;(提醒:別忘了標(biāo)注字母);

2)請(qǐng)畫出平移后的DEF;

3)平移后,線段AB掃過(guò)的部分所組成的封閉圖形的面積是___________.

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【題目】某公司欲招聘一名部門經(jīng)理,對(duì)甲、乙、丙三名候選人進(jìn)行了三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試.各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)?nèi)绫砀袼荆?/span>

測(cè)試項(xiàng)目

測(cè)試成績(jī)

專業(yè)知識(shí)

74

87

90

語(yǔ)言能力

58

74

70

綜合素質(zhì)

87

43

50

(1)如果根據(jù)三次測(cè)試的平均成績(jī)確定人選,那么誰(shuí)將被錄用?

(2)根據(jù)實(shí)際需要,公司將專業(yè)知識(shí)、語(yǔ)言能力和綜合素質(zhì)三項(xiàng)測(cè)試得分按4:3:1的比例確定每個(gè)人的測(cè)試總成績(jī),此時(shí)誰(shuí)將被錄用?

(3)請(qǐng)重新設(shè)計(jì)專業(yè)知識(shí)、語(yǔ)言能力和綜合素質(zhì)三項(xiàng)測(cè)試得分的比例來(lái)確定每個(gè)人的測(cè)試總成績(jī),使得乙被錄用,若重新設(shè)計(jì)的比例為xy:1,且x+y+1=10,則x   ,y   .(寫出xy的一組整數(shù)值即可).

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【題目】某公司為獎(jiǎng)勵(lì)在趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)上取得好成績(jī)的員工,計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品共20件.其中甲種獎(jiǎng)品每件40元,乙種獎(jiǎng)品每件30元
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(2)如果購(gòu)買乙種獎(jiǎng)品的件數(shù)不超過(guò)甲種獎(jiǎng)品件數(shù)的2倍,總花費(fèi)不超過(guò)680元,求該公司有哪幾種不同的購(gòu)買方案?

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B.
C.
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