Question

已知：如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間t（s），

解答下列各問題：
（1）填空：△ABC的面積為

 

cm²．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是等邊三角形？
（3）當(dāng)△PBQ是直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：動點(diǎn)型

分析：（1）如圖1，作輔助線；求出AM的長度，借助面積公式，即可解決問題．
（2）由BP=BQ，列出關(guān)于t的方程，即可解決問題．
（3）運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，按∠PQB=90°或∠BP′Q′=90°兩種情況逐一解析，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M；
∵△ABC為等邊三角形，且邊長為6，
∴AB=AC=6，BM=CM=3，∠B=60°，
∴BM=

1

2

AB=3，AM=3

3

；
∴△ABC的面積=

1

2

×6×3

3

=9

3

（cm²）．
故答案為9

3

．
（2）如備用圖1，由（1）知∠B=60°，
∴當(dāng)PB=BQ時(shí)，△PBQ為等邊三角形；
∴6-t=t，解得：t=3，
即當(dāng)t=3s時(shí)，△PBQ為等邊三角形．
（3）如備用圖2，若∠PQB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，PB=2BQ；
即6-t=2t，解得：t=2s；
若∠BP′Q′=90°，
同理可求：t=4s．
∴當(dāng)t=2s或4s時(shí)，△PBQ是直角三角形．

點(diǎn)評：該題主要考查了等邊三角形的判定及其性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形．