Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA=

3

4

，點D、E分別是邊BC、AC上的點，且∠EDC=∠A，將△ABC沿DE對折，若點C恰好落在AB上，則DE的長為

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：計算題

分析：把△ABC沿DE對折，點C恰好落在AB的F點處，CF與DE相交于O點，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE⊥CF，OC=OF，再根據(jù)等角的余角相等得∠1=∠EDC，而∠EDC=∠A，則∠1=∠A，所以FC=FA，同理可得FC=FB，于是有CF=

1

2

AB，OC=

1

4

AB，然后根據(jù)余切的定義和勾股定理得到BC=4，AB=5，所以O(shè)C=

5

4

，
再分別在Rt△OEC和Rt△ODC中，利用余切的定義計算出OE=

5

3

，OD=

15

16

，再計算OE+OD即可．

解答：解：把△ABC沿DE對折，點C恰好落在AB的F點處，CF與DE相交于O點，如圖，
∴DE⊥CF，OC=OF，
∵∠EDC+∠OCD=90°，∠1+∠OCD=90°，
∴∠1=∠EDC，
而∠EDC=∠A，
∴∠1=∠A，
∴FC=FA，
同理可得FC=FB，
∴CF=

1

2

AB，
∴OC=

1

4

AB，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，
∴cotA=

AC

BC

=

3

4

，
∴BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴OC=

5

4

，
在Rt△OEC中，cot∠1=cot∠A=

OC

OE

，即

3

4

=

5 4

OE

，
∴OE=

5

3

，
在Rt△ODC中，cot∠ODC=cot∠A=

OD

OC

，即

OD

5 4

=

3

4

，
∴OD=

15

16

，
∴DE=OD+OE=

15

16

+

5

3

=

125

48

．
故答案為

125

48

．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)．