Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于A，PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點(diǎn)．①△ABC是Rt△；②△PAB≌△O₂AC；③BC²=4O₁A•O₂A；④以O(shè)₁O₂為直徑的圓與BC恰好相切于點(diǎn)P．上述結(jié)論，正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明(λ+μ)2=(λ-μ)2+O2Q2，得到BC2=O2Q2=4λμ，故③成立；證明∠PAB+∠PAC=90°，得到△ABC為直角三角形，故①正確．證明∠O₁PO₂=90°，得到以O(shè)₁O₂為直徑的圓必過點(diǎn)P；證明MP⊥BC，得到④正確；

解答：解：如圖，設(shè)⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為λ、μ；
接O₁P、O₂P；過點(diǎn)O₂作O₂Q⊥O₁B；
∵⊙O₁與⊙O₂外切，且PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，
∴O₁O₂=λ+μ；∠O₁BC=∠O₂CB=90°；
∴四邊形BCO₂Q為矩形，
∴BQ=CO₂=μ，O₁Q=λ-μ；BC=O₂Q；
由勾股定理的得：
(λ+μ)2=(λ-μ)2+O2Q2，
∴BC2=O2Q2=4λμ，故③成立；
由題意得：∠PAB=

1

2

∠AO₁B，∠PAC=

1

2

∠AO₂C；
∵O₁B∥O₂C，
∴∠AO₁B+∠AO₂C=180°，
∴∠PAB+∠PAC=90°，
∴△ABC為直角三角形，故①正確．
同理可證∠O₁PO₂=90°，
∴以O(shè)₁O₂為直徑的圓必過點(diǎn)P；
取O₁O₂的中點(diǎn)M，連接MP；
∵PA=PB，PB=PC，
∴PA=PC，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，
∴PM為梯形BCO₁O₂的中位線，
∴MP∥O₁B，MP⊥BC，
∴④正確；
綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)為3，
故選C．

點(diǎn)評：該題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了一定的要求．