【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+6及一次函數(shù)y=﹣x+m,將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方,圖象的其余部分不變,得到一個新函數(shù)(如圖所示).
(1)求二次函數(shù)y=﹣x2+x+6的頂點坐標(biāo)和x軸的交點坐標(biāo);
(2)直接寫出新函數(shù)對應(yīng)的解析式;
(3)當(dāng)直線y=﹣x+m與新圖象有四個交點時,求m的取值范圍.
【答案】(1)頂點坐標(biāo)為(,),和x軸的交點坐標(biāo)(﹣2,0),(3,0);(2)當(dāng)x<﹣2或x>3時,y=﹣x2+x+6;當(dāng)﹣2≤x≤3時,y=x2﹣x﹣6;(3)m的取值范圍為﹣6<m<﹣2.
【解析】
(1)令y=0,解方程﹣x2+x+6=0,可得與x軸交點坐標(biāo)為(﹣2,0),(3,0),把解析式化成頂點式,即可求得頂點坐標(biāo);
(2)利用折疊的性質(zhì)求出折疊部分的解析式為y=(x+2)(x﹣3),即y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3),故可得出新函數(shù)對應(yīng)的解析式;
(3)求出直線y=﹣x+m經(jīng)過點A(﹣2,0)時m的值和當(dāng)直線y=﹣x+m與拋物線y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3)有唯一公共點時m的值,從而得到當(dāng)直線y=﹣x+m與新圖象有4個交點時,m的取值范圍.
(1)如圖,當(dāng)y=0時,即﹣x2+x+6=0,
解得:x1=﹣2,x2=3,
則與x軸交點坐標(biāo)為(﹣2,0),(3,0).
∵y=﹣x2+x+6=﹣(x)2,
∴頂點坐標(biāo)為(,);
(2)將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y=(x+2)(x﹣3),即y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3),
故當(dāng)x<﹣2或x>3時,y=﹣x2+x+6;
當(dāng)﹣2≤x≤3時,y=x2﹣x﹣6;
(3)當(dāng)直線y=﹣x+m經(jīng)過點A(﹣2,0)時,2+m=0,解得:m=﹣2;
當(dāng)直線y=﹣x+m與拋物線y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3)有唯一公共點時,即方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有兩個相等的實數(shù)解,整理得:x2﹣6﹣m=0,
則△=-4(-6-m)=0
解得:m=﹣6,
所以當(dāng)直線y=﹣x+m與新圖象有4個交點時,m的取值范圍為﹣6<m<﹣2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知P是⊙O外一點,PO交圓O于點C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度數(shù)為120°,連接PB.
(1)求BC的長;
(2)求證:PB是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖網(wǎng)格圖中,每個小正方形的邊長均為1個單位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)試在圖中作出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心,沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△AB1C1;
(2)若點B的坐標(biāo)為(﹣3,5),試在圖中畫出直角坐標(biāo)系,并直接寫出A、C兩點的坐標(biāo);
(3)根據(jù)(2)的坐標(biāo)系作出與△ABC關(guān)于原點對稱的圖形△A2B2C2,并直接寫出點A2、B2、C2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在菱形中,,點是射線上一動點,以為邊向右側(cè)作等邊,點的位置隨點的位置變化而變化.
(1)如圖1,當(dāng)點在菱形內(nèi)部或邊上時,連接,與的數(shù)量關(guān)系是 ,與的位置關(guān)系是 ;
(2)當(dāng)點在菱形外部時,(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,
請說明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理).
(3) 如圖4,當(dāng)點在線段的延長線上時,連接,若 , ,求四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,ED切⊙O于點C,AD交⊙O于點F,∠AC平分∠BAD,連接BF.
(1)求證:AD⊥ED;
(2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將兩個等腰三角形和拼合在一起,其中,,.
(1)操作發(fā)現(xiàn)
如圖2,固定,把繞著頂點旋轉(zhuǎn),使點落在邊上.
填空:線段與的關(guān)系是①位置關(guān)系:______;②數(shù)量關(guān)系:______
(2)變式探究
當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由;
(3)解決問題
如圖4,已知線段,線段,以為邊作一個正方形,連接,隨著邊的變化,線段的長也會發(fā)生變化.請直接寫出線段的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)兩點是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=圖象的兩個交點.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)觀察圖象,直接寫出不等式kx+b﹣>0的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把一副撲克牌中的張黑桃牌(它們的正面牌面數(shù)字分別是、、)洗勻后正面朝下放在桌面上.
(1)如果從中隨機抽取一張牌,那么牌面數(shù)字是的概率是多少?
(2)小王和小李玩摸牌游戲,游戲規(guī)則如下:先由小王隨機抽出一張牌,記下牌面數(shù)字后放回,洗勻后正面朝下,再由小李隨機抽出一張牌,記下牌面數(shù)字.當(dāng)張牌面數(shù)字相同時,小王贏;當(dāng)張牌面數(shù)字不相同時,則小李贏.現(xiàn)請你利用樹形圖或列表法分析游戲規(guī)則對雙方是否公平?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分9分)
根據(jù)要求,解答下列問題.
(1)根據(jù)要求,解答下列問題.
①方程x2-2x+1=0的解為________________________;
②方程x2-3x+2=0的解為________________________;
③方程x2-4x+3=0的解為________________________;
…… ……
(2)根據(jù)以上方程特征及其解的特征,請猜想:
①方程x2-9x+8=0的解為________________________;
②關(guān)于x的方程________________________的解為x1=1,x2=n.
(3)請用配方法解方程x2-9x+8=0,以驗證猜想結(jié)論的正確性.
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