Question

【題目】如圖①，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是線段AB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線DF垂直于射線AB于點(diǎn)D，當(dāng)直線DF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，與⊙O交于點(diǎn)C，且運(yùn)動(dòng)過程中，保持CD＝OA

（1）當(dāng)直線DF與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

（2）當(dāng)直線DF與半圓O相交于點(diǎn)C時(shí)（如圖②），設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE，OC，若AE∥OC．

①AE與OD的大小有什么關(guān)系？說明理由．

②求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①結(jié)論：AE＝OD．②∠CDF＝54°

【解析】

（1）連接OC，因?yàn)?/span>CD是⊙O的切線，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD=45°即可解決問題；

（2）連接OE，①證明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；

②利用等腰三角形及平行線的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程可求得∠ODC的度數(shù)，即可解決問題；

（1）如圖①，連接OC．

∵OC＝OA，CD＝OA，

∴OC＝CD，

∴∠ODC＝∠COD，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD＝90°，

∴∠ODC＝45°；

∴旋轉(zhuǎn)角∠CDF＝90°﹣45°＝45°．

（2）如圖②，連接OE．

∵CD＝OA，

∴CD＝OC＝OE＝OA，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵AE∥OC，

∴∠2＝∠3．

設(shè)∠ODC＝∠1＝x，則∠2＝∠3＝∠4＝x．

∴∠AOE＝∠OCD＝180°﹣2x．

①結(jié)論：AE＝OD．理由如下：

在△AOE與△OCD中，

，

∴△AOE≌△OCD（SAS），

∴AE＝OD．

②∵∠6＝∠1+∠2＝2x．OE＝OC，

∴∠5＝∠6＝2x．

∵AE∥OC，

∴∠4+∠5+∠6＝180°，即：x+2x+2x＝180°，

∴x＝36°．

∴∠ODC＝36°，

∴旋轉(zhuǎn)角∠CDF＝54°．