Question

如圖1，已知點(diǎn)A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分線交AB于C，一動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿y軸向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P且平行于AB的直線交x軸于Q，作P、Q關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)M、N．設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜2）秒．

（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）設(shè)△MNC與△OAB重疊部分的面積為S．

①試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

②在圖2的直角坐標(biāo)系中，畫出S關(guān)于t的函數(shù)圖象，并回答：S是否有最大值？若有，寫出S的最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）（，），P（0，2t），Q（t，0）；（2）①；②當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值，最大值為1．

【解析】

試題分析：（1）如答圖1，作輔助線，由比例式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）①所求函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)，需要分類討論：答圖2，答圖3表示出運(yùn)動(dòng)過程中重疊部分（陰影）的變化，分別求解.

②畫出函數(shù)圖象，由兩段拋物線構(gòu)成．觀察圖象，可知當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值．

試題解析：【解析】
（1）如答圖1，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，CE⊥y軸于點(diǎn)E，

由題意，易知四邊形OECF為正方形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x．

∵CE∥x軸，∴△BEC∽△BOA.∴，即，解得x=．

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.

∵PQ∥AB，∴，即.

∴OP=2OQ．

∵P（0，2t），∴Q（t，0）．

∵對(duì)稱軸OC為第一象限的角平分線，∴對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為：M（2t，0），N（0，t）．

（2）①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如答圖2所示，點(diǎn)M在線段OA上，重疊部分面積為S△CMN．

S△CMN=S四邊形CMON﹣S△OMN=（S△COM+S△CON）﹣S△OMN.

當(dāng)1＜t＜2時(shí)，如答圖3所示，點(diǎn)M在OA的延長(zhǎng)線上，

設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，則重疊部分面積為S△CDN．

設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，

將M（2t，0）、N（0，t）代入得，解得.

∴直線MN的解析式為.

同理求得直線AB的解析式為：y=﹣2x+4．

聯(lián)立與y=﹣2x+4，求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為．

S△CDN=S△BDN﹣S△BCN=．

綜上所述，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為．

②畫出函數(shù)圖象，如答圖4所示：

觀察圖象，可知當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值，最大值為1．

考點(diǎn)：1.雙動(dòng)點(diǎn)和軸對(duì)稱問題；2.正方形的判定和性質(zhì)；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.待定系數(shù)法的應(yīng)用；6.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；7.分類思想、數(shù)形結(jié)合思想和方程思想的應(yīng)用.