Question

【題目】已知：如圖，在矩形紙片ABCD中，，，翻折矩形紙片，使點A落在對角線DB上的點F處，折痕為DE，打開矩形紙片，并連接EF．

的長為多少；

求AE的長；

在BE上是否存在點P，使得的值最小？若存在，請你畫出點P的位置，并求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的長為；（3）存在，畫出點P的位置如圖3見解析，的最小值為．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理解答即可；

（2）設(shè)AE=x，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可；

（3）延長CB到點G，使BG=BC，連接FG，交BE于點P，連接PC，利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．

（1）∵矩形ABCD，∴∠DAB=90°，AD=BC=3．在Rt△ADB中，DB．

故答案為：5；

（2）設(shè)AE=x．

∵AB=4，∴BE=4﹣x，在矩形ABCD中，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：

Rt△FDE≌Rt△ADE，∴FE=AE=x，FD=AD=BC=3，∴BF=BD﹣FD=5﹣3=2．在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理，得FE2+BF2=BE2，即x2+4=（4﹣x）2，解得：x，∴AE的長為；

（3）存在，如圖3，延長CB到點G，使BG=BC，連接FG，交BE于點P，連接PC，則點P即為所求，此時有：PC=PG，∴PF+PC=GF．

過點F作FH⊥BC，交BC于點H，則有FH∥DC，∴△BFH∽△BDC，∴，即，∴，∴GH=BG+BH．在Rt△GFH中，根據(jù)勾股定理，得：GF，即PF+PC的最小值為．