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【題目】如圖,拋物線y=x軸交于AB(點A在點B的左側)與y軸交于點C,連接AC、BC.過點AADBC交拋物線于點D8,10),點P為線段BC下方拋物線上的任意一點,過點PPEy軸交線段AD于點E

1)如圖1.當PE+AE最大時,分別取線段AEAC上動點G,H,使GH=5,若點MGH的中點,點N為線段CB上一動點,連接EN、MN,求EN+MN的最小值;

2)如圖2,點F在線段AD上,且AFDF=73,連接CF,點Q,R分別是PE與線段CFBC的交點,以RQ為邊,在RQ的右側作矩形RQTS,其中RS=2,作∠ACB的角平分線CKAD于點K,將ACK繞點C順時針旋轉75°得到A′CK′,當矩形RQTSA′CK′重疊部分(面積不為0)為軸對稱圖形時,請直接寫出點P橫坐標的取值范圍.

【答案】(1)2-2)當xP=2-12xP6-6時,矩形RQRSA′CK′重疊部分為軸對稱圖形

【解析】

1)先通過二次函數解析式求出點A,B的坐標,再求出ACAB,CB的長度,用勾股定理逆定理證直角三角形,求出直線AD的解析式,用含相同字母的代數式分別表示E,Q,P的坐標,并表示出EP長度,求出AE長度,根據二次函數的性質求出EA+EP最大值時點E的坐標.最后作出點E關于CB的對稱點,利用兩點之間線段最短可求出結果;

2)由旋轉的性質得到三角形CA′K與三角形CAK全等,且為等腰直角三角形,求出A′,K′的坐標,求出直線A′K′CB的解析式,求出交點坐標,通過圖象觀察出P的橫坐標的取值范圍.

1)在拋物線y=x2-x-6中,

y=0時,x1=-2,x2=6,

x=0時,y=-6,

∵拋物線y=x2-x-6x軸交于AB(點A在點B左側),與y軸交于點C,

A-2,0),B6,0),C0-6),

AB=8,AC=,BC=,

ABC中,

AC2+BC2=192,AB2=192,

AC2+BC2=AB2,

∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,

ADBC

∴∠CAD=90°,

過點DDLx軸于點L,

RtADL中,

DL=10,AL=10,

tanDAL==,

∴∠DAB=30°,

把點A-20),D810)代入直線解析式,

,

解得k=,b=2

yAD=x+2,

設點E的橫坐標為a,EPy軸于點Q,

Ea,a+2),Qa,0),Pa,a2-a-6),

EQ=a+2EP=a+2-a2-a-6=a2+a+8,

∴在RtAEB中,

AE=2EQ=a+4,

PE+AE=a+4+a2+a+8

=a2a+12

=a-52+

∴根據函數的性質可知,當a=5時,PE+AE有最大值,

∴此時E5,7),

過點EEFCBCB的延長線于點F

則∠EAC=ACB=ACF=90°,

∴四邊形ACFE是矩形,

作點E關于CB的對稱點E',

在矩形ACFE中,由矩形的性質及平移規(guī)律知,

xF-xE=xC-xA,yE-yF=yA-yC

A-2,0),C0,-6),E57),

xF-5=0--2),7-yF=0--6),

xF=7,yF=1,

F7,1),

FEE′的中點,

,

xE′=9,yE′=-5

E'9,-5),

連接AE',交BC于點N,則當GH的中點ME′A上時,EN+MN有最小值,

AE′==2,

MRtAGH斜邊中點,

AM=GH=,

EN+MN=E′M=2-,

EN+MN的最小值是2-

2)在RtAOC中,

tanACO==,

∴∠AOC=30°

KE平分∠ACB,

∴∠ACK=BCK=45°,

由旋轉知,CA′K′≌△CAK,∠AC′A′=75°,

∴∠OCA′=75°-ACO=45°,∠AC′K′=45°,

OCK′=90°,

K′Cy軸,CAK′是等腰直角三角形,

A′C=AC=4

xA′==2,yA′=2-6,

A′2,2-6),

K′4,-6),

A′2,2-6),K′4,-6),代入一次函數解析式,

,

解得k=-1b=4-6,

yA′K′=-x+4-6,

CBAD,

∴將點C0,-6),B60)代入一次函數解析式,

解得k=,b=-6,

yCB=x-6

聯立yA′K′=-x+4-6yCB=x-6,

-x+4-6=x-6,

x=6-6,

∴直線CBA′K′的交點橫坐標是6-6,

∵當EP經過A′時,點P的橫坐標是2,

∴如圖2,當2xP6-6時,重疊部分是軸對稱圖形;

如圖3,由于RS的長度為2,由圖可看出當xP=2-1時,重疊部分同樣為軸對稱圖形;

綜上,當xP=2-12xP6-6時,

矩形RQRSA′CK′重疊部分為軸對稱圖形.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】已知RtABC,∠C=90°,CDABD.

(1)ECA延長線上,點FBC延長線上,連接DE,DF,

①如圖1,∠B=45°,AC=AEBC=CF,請補全圖形,并直接寫出DEDF的位置關系與數量關系;

②如圖2,∠B=30°,若DEDF的位置關系滿足①中的結論,請補全圖形,判斷AECF的數量關系,并證明;

(2)E在射線CA上,點F射線BC上,連接DEDF,BE,EF,如DEDF,EC=8,EB=17,EF=10,請直接寫出AC的長.

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【題目】有一科技小組進行了機器人行走性能試驗,在試驗場地有A、B、C三點順次在同一筆直的賽道上,甲、乙兩機器人分別從A、B兩點同時同向出發(fā),歷時7分鐘同時到達C點,乙機器人始終以60/分的速度行走,如圖是甲、乙兩機器人之間的距離y(米)與他們的行走時間x(分鐘)之間的函數圖象,請結合圖象,回答下列問題:

(1)A、B兩點之間的距離是   米,甲機器人前2分鐘的速度為   /分;

(2)若前3分鐘甲機器人的速度不變,求線段EF所在直線的函數解析式;

(3)若線段FGx軸,則此段時間,甲機器人的速度為   /分;

(4)求A、C兩點之間的距離;

(5)若前3分鐘甲機器人的速度不變,直接寫出兩機器人出發(fā)多長時間相距28米.

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【題目】已知:如圖,在矩形紙片ABCD中,,,翻折矩形紙片,使點A落在對角線DB上的點F處,折痕為DE,打開矩形紙片,并連接EF

的長為多少;

AE的長;

BE上是否存在點P,使得的值最?若存在,請你畫出點P的位置,并求出這個最小值;若不存在,請說明理由.

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【題目】學而時習之,不亦樂乎!”,古人把經常復習當作是一種樂趣,能達到這種境界是非常不容易的.復習可以讓遺忘的知識得到補拾,零散的知識變得系統,薄弱的知識有所強化,掌握的知識更加鞏固,生疏的技能得到訓練.為了了解初一學生每周的復習情況,教務處對初一(1)班學生一周復習的時間進行了調查,復習時間四舍五入后只有4種:1小時,2小時,3小時,4小時,一周復習2小時的女生人數占全班人數的16%,一周復習4小時的男女生人數相等.根據調查結果,制作了兩幅不完整的統計圖(表):

分組(四舍五入后)

頻數(學生人數)

1小時

2

2小時

a

3小時

4

4小時

b

初一(1)班女生的復習時間數據(單位:小時)如下:0.9,1.3,1.7,1.8,1.92.2,2.22.2,2.3,2.43.2,3.23.2,3.33.8,3.9,3.9,4.1,4.2,4.3

女生一周復習時間頻數分布表

1)四舍五入前,女生一周復習時間的眾數為______小時,中位數為______小時;

2)統計圖表中a=______,c=______,初一(1)班男生人數為______人,根據扇形統計圖估算初一(1)班男生一周的平均復習時間為______小時;

3)為了激勵學生養(yǎng)成良好的復習習慣,教務處決定對一周復習時間四舍五入后達到3小時及以上的全年級學生進行表揚,每人獎勵1個筆記本,初一年級共有1000名學生,請問教務處應該準備大約多少個筆記本?

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【題目】附加題:(y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2=(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2

的值.

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【題目】現代互聯網技術的廣泛應用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.小明計劃給朋友快遞一部分物品,經了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適.甲公司表示:快遞物品不超過1千克的,按每千克22元收費;超過1千克,超過的部分按每千克15元收費.乙公司表示:按每千克16元收費,另加包裝費3元.設小明快遞物品x千克.

(1)請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費用y(元)與x(千克)之間的函數關系式;

(2)小明選擇哪家快遞公司更省錢?

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【題目】如圖,一次函數y=ax+b與反比例函數(x>0)的圖像交于點A2,5)和點Bm1.

1)確定這兩個函數的表達式;

2)求出△OAB的面積;

3)結合圖像,直接寫出不等式的解集.

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1)小娜抽到“2019年”是  事件,“歡”字被抽中的是  事件;(填“不可能”或“必然”或“隨機”).小娜從四個燈籠中任取一個,取到“春”的概率是  

2)小娜從四個燈籠中先后取出兩個燈籠,請用列表法或畫樹狀圖法求小娜恰好取到“春”、“節(jié)”兩個燈籠的概率.

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