Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，點C為半圓上任一點．

（1）若∠BAC＝30°，過點C作半圓O的切線交直線AB于點P．求證：△PBC≌△AOC；

（2）若AB＝6，過點C作AB的平行線交半圓O于點D．當以點A，O，C，D為頂點的四邊形為菱形時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）π或2π．

【解析】

（1）根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，推出△OBC是等邊三角形，根據等邊三角形和外角的性質得到∠AOC＝∠PBC＝120°，根據切線的性質得到∠OCP＝90°，根據全等三角形的判定即可得到結論；

（2）根據菱形的性質得到OA＝AD＝CD＝OC，連接OD，得到△AOD與△COD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠AOD＝∠COD＝60°，求得∠BOC＝60°，同理可得另一種情況∠BOC＝120°，然后根據弧長公式即可得到結論，．

解：（1）如圖1，∵AB為半圓O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，

∴∠AOC＝∠PBC＝120°，

∵CP是⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP＝90°，

∴∠ACO＝∠PCB，

在△PBC與△AOC中，，

∴△PBC≌△AOC（ASA）；

（2）如圖1，連接OD，BD，CD，

∵四邊形AOCD是菱形，

∴OA＝AD＝CD＝OC，

∵OA＝OD＝OC，

∴△AOD與△COD是等邊三角形，

∴∠AOD＝∠COD＝60°，

∴∠BOC＝60°，

∴的長＝＝π；

如圖2，同理∠BOC＝120°，

∴的長＝＝2π，

綜上所述，的長為π或2π．