【題目】如圖①,定義:直線x、y軸分別相交于A、B兩點,將繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到,過點A、BD的拋物線P叫做直線的“糾纏拋物線”,反之,直線叫做P的“糾纏直線",兩線“互為糾纏線”.

1)若,則糾纏物線P的函數(shù)解析式是____________

2)判斷并說明是否“互為糾纏線”.

3)如圖②,若糾纏直線,糾纏拋物線P的對稱軸與相交于點E,點F上,點QP的對稱軸上,當(dāng)以點C、E、Q、F為頂點的四邊形是以為一邊的平行四邊形時,求點Q的坐標(biāo).

【答案】答案見解析.

【解析】

1)若ly=-2x+2,則點AB、CD的坐標(biāo)分別為:(1,0)、(0,2)、(01)、(-2,0),則拋物線的表達(dá)式為:y=ax+2)(x-1),即可求解;

2)同理:點AB、C、D的坐標(biāo)分別為:(k,0)、(02k)、(0k)、(-2k,0),則拋物線的表達(dá)式為:y=ax+2k)(x-k),即可求解;

3)以點CE、QF為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時,由題意得:|xQ-xF|=1,即:m+1=±1,即可求解.

解:(1)若ly=-2x+2,則點A、B、CD的坐標(biāo)分別為:(1,0)、(02)、(01)、(-20),

則拋物線的表達(dá)式為:y=ax+2)(x-1),

將點B的坐標(biāo)代入上式得:2=a0+2)(0-1),解得:a=-1,

故答案為:y=-x2-x+2;

(2)同理:點A、BC、D的坐標(biāo)分別為:(k,0)、(0,2k)、(0k)、(-2k,0),

則拋物線的表達(dá)式為:y=ax+2k)(x-k),
將點B的坐標(biāo)代入上式并解得:a= ,
故拋物線的表達(dá)式為:y=

y=-2x+2ky互為糾纏線;

A、BC、D的坐標(biāo)分別為:(20)、(04)、(0,2)、(-4,0),

同理可得:拋物線的表達(dá)式為:y=

拋物線的對稱軸為:x=-1,

設(shè)點Fm,-2m+4),點Q-1,n),

將點CD的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并求得:

直線CD的表達(dá)式為:y= x+2,

CE橫坐標(biāo)差為1,故縱坐標(biāo)差為,

以點C、E、QF為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時,

由題意得:|xQ-xF|=1,即:m+1=±1

解得:m=0-2,
當(dāng)m=0時,點F0,4),則點Q-1, );

同理當(dāng)m=-2時,點Q-1 );
綜上,點Q坐標(biāo)為:Q-1,)或Q-1).

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