Question

已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對角線BD上的動點(diǎn)（不含B、D）．
（1）證明無論動點(diǎn)P在何處，四邊形PMCN的面積總是固定值，這個固定值是多少？
（2）試探究動點(diǎn)P在何處時，四邊形PMCN的周長最小，最小值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）利用中位線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出△PMN的面積=△BMN的面積=△CMN的面積，進(jìn)而求出即可；
（2）利用軸對稱的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)得出MP+NP=QP+NP=QN=5，求出即可．

解答：解：（1）如圖所示：

∵M(jìn)、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，∴MN∥BD．
∴△PMN的面積=△BMN的面積=△CMN的面積，
∴四邊形PMCN的面積=

1

4

菱形ABCD的面積=6；

（2）如圖所示：

作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，
∵M(jìn)Q⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴Q為AB中點(diǎn)，
∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
∴四邊形PMCN周長最小值是10．

點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及軸對稱求最短路線，正確利用對稱性得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．