Question

如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連結(jié)CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于點F．試問：
（1）圖中△APD與哪個三角形全等？并說明理由．
（2）猜想：線段PC、PE、PF之間存在什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合條件可證明△APD≌△CPD；
（2）可證明△APE∽△FPA，結(jié)合（1）可得PA=PC，可得到PC、PE、PF之間的關(guān)系．

解答：解：（1）△APD≌△CPD，
理由：∵四邊形ABCD菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△APD和△CPD中，

AD=CD ∠ADP=∠CDP PD=PD

，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）猜想：PC²=PE•PF．
證明：∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥BF，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
又∵∠APE=∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴

AP

FP

=

PE

PA

，
∴PA²=PE•PF，
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC，
∴PC²=PE•PF．

點評：本題主要考查全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，在（2）中證明△APE∽△FPA是解題的關(guān)鍵，注意菱形性質(zhì)的應(yīng)用．