Question

下面我們做一次折疊活動：第一步：在一張寬為2的矩形紙片的一端，利用圖1的方法折疊出一個正方形，然后把紙片展開．
第二步：如圖（2），把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．
第三步：折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并將AB折到圖（3）中所示的AD處．
第四步：展平紙片，按照所得的點D折出DE，矩形BCDE就是黃金矩形，你能說明為什么嗎？（注：當矩形的寬與長的比為

5 -1

2

時，稱這個矩形為黃金矩形）

Answer 1

考點：黃金分割

專題：常規(guī)題型

分析：設(shè)正方形BCNM的邊長為2a，利用對折的性質(zhì)得AC=

1

2

NC=a，再在△ABC中根據(jù)勾股定理計算出AB=

5

a，接著利用對折得AD=AB=

5

a，所以CD=AD-AC=（

5

-1）a，于是有

CD

BC

=

5 -1

2

，然后根據(jù)黃金矩形的定義進行判斷．

解答：解：設(shè)正方形BCNM的邊長為2a，
∵正方形BCNM沿AF對折，
∴AC=

1

2

NC=a，
在△ABC中，∵BC=2a，AC=a，
∴AB=

AC2+BC2

=

5

a，
∵AD=AB=

5

a，
∴CD=AD-AC=（

5

-1）a，
∴

CD

BC

=

( 5 -1)a

2a

=

5 -1

2

，
∴矩形BCDE就是黃金矩形．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．也考查了折疊的性質(zhì)．