Question

（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC的延長線上，點E在AB上，DE交AC于點F，ED=EB，求證：AE=EF；
（2）如圖2，AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠B，求證：BD=CE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等邊對等角，可得∠B與∠D的關(guān)系，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，可得∠B與∠A的關(guān)系，∠D與∠DFC的關(guān)系，根據(jù)根據(jù)等角的余角相等，可得∠A與∠AFE的關(guān)系，根據(jù)等角對等邊，可得AE=EF；
（2）根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得△ABC與△ADE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形頂角相等，可得∠BAC與∠DAE的關(guān)系，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD與∠CAE的關(guān)系，根據(jù)“SAS”可得△ABD與△ACE的關(guān)系，△三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)邊相等．

解答：證明：（1）∵ED=EB，
∴∠B=∠D（等邊對等角）．
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，∠D+∠DFC=90°（直角三角形兩銳角互余）．
∵∠AFE=∠DFC（對頂角相等），
∴∠D+∠AFE=90°（等角的余角相等）．
∴∠AFE=∠A（等角的余角相等），
∴AE=EF  （等角對等邊）；
（2）∵AB=AC．AD=AE，
∴△ABC與△ADE都是等腰三角形，
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAC=180°-2∠B=180°-2∠ADE=∠DAE．（等式的性質(zhì)）
∠BAC+CAD=∠DAE+CAD（等式的性質(zhì)）
∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，（1）先是運用等邊對等角，再運用直角三角形兩銳角互余，等角的余角相等，最后是等角對等邊；（2）等腰三角形的底角相等，頂角相等，運用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，“SAS“證明兩三角形全等，全等三角形的對應(yīng)邊相等．